Chủ đề này có 3 trả lời

[studentlovemath]

Cho các số $x,y,z >0$ thoả mãn  $xy+yz+zx=671$. CMR:

$\frac{x}{x^{2}-yz+2013}+\frac{y}{y^{2}-xz+2013}+\frac{z}{z^{2}-xy+2013}\geq \frac{1}{x+y+z}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 04-11-2014 - 22:44

[baotranthaithuy]

Cho các số x,y,z >0 thoả mãn  xy+yz+zx=671. CMR:

$\frac{x}{x^{2}-yz+2013}+\frac{y}{y^{2}-xz+2013}+\frac{z}{z^{2}-xy+2013}$

$=\frac{x^{2}}{x^{3}-yzx+2013x}+\frac{y^{2}}{y^{3}-xzy+2013y}+\frac{z^{2}}{z^{3}-xyz+2013z}$

$\geq \frac{(\sum a)^{2}}{x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz+2013(x+y+z)} $

$x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz+2013(x+y+z)=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-xz)+3(xy+yz+xz)(x+y+z)$

$=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2yz+2xz) =(x+y+z)^{3}$

$ \Rightarrow \frac{x}{x^{2}-yz+2013}+\frac{y}{y^{2}-xz+2013}+\frac{z}{z^{2}-xy+2013}\geq \frac{1}{x+y+z}$

[studentlovemath]

Không hiểu, có thể giải chi tiết hơn được không ạ?

[Long Cold Ice]

Đặt VT=P

Áp dụng BĐT Cauchy-Swart (c/m dựa vào Bđt Bunhiacopki)

$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{x+y+z}$

$P= \frac{x^{2}}{x^{3}-xyz+2013x}+\frac{y^2}{y^3-xyz+2013y}+\frac{z^2}{z^3-xyz+2013z}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{x^3+y^3+z^3-3xyz+2013(x+y+z)}=\frac{(x+y+z)^{2}}{(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)+(x+y+z)(3xy+3xz+3yz)}= \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^3}=\frac{1}{x+y+z}$ (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Long Cold Ice: 24-11-2014 - 23:29