Định lý Caley - Haminton
(Đồng Phúc Thiên Phú - Thành viên Chuyên san EXP)
Định lý Cayley – Hamilton:
Trong đại số tuyến tính, định lý Caley – Hamilton (được đặt tên bởi nhà toán học người Anh Arthur Cayley (1821 – 1895) và nhà toán học người Ireland William Rowan Hamilton (1805 – 1865) ) khẳng định rằng tất cả ma trận vuông trên một vành giao hoán (như trường số thực hoặc trường số phức) thỏa mãn phương trình đặc trưng riêng.
Chính xác hơn, nếu $A$ là một ma trận $n\times n$ và ${{I}_{n}}$ là một ma trận đơn vị $n\times n$, sau đó đa thức đặc trưng của $A$ được định nghĩa như sau:
$$p\left( \lambda \right)=\det \left( \lambda {{I}_{n}}-A \right)$$
“$\det$” là phép tính định thức. Từ đó các giá trị nhập của ma trận là (tuyến tính hoặc hằng) là đa thức thuộc $\lambda $, định thức cũng là một đa thức thứ $n$ thuộc $\lambda $.
Định lý Cayley – Hamilton nói rằng “thay thế” ma trận $A$ cho $\lambda $ kết quả trong đa thức thuộc ma trận không.
$$p\left( A \right)=0$$
Lũy thừa của $A$, thu được bằng cách thay thế từ lũy thừa của $\lambda $, được định nghĩa là lặp đi lặp lại phép nhân ma trận, số hạng hằng của $p\left( A \right)$ cho một bội số của ${{A}^{0}}$, lũy thừa này được định nghĩa là ma trận đơn vị. Định lý thừa nhận ${{A}^{n}}$ được biểu diễn như một sự kết hợp tuyến tính của các ma trận lũy thừa thấp hơn $A$.
Khi vành là một trường, định lý Cayley – Hamilton có tuyên bố tương đương rằng đa thức cực tiểu của một ma trận vuông chia nó ra những đa thức đặc trưng.
Ví dụ:
Hãy xem một ví dụ cụ thể
$$A=\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{matrix} \right)$$
Đa thức đặc trưng của nó được cho
$$p\left( \lambda \right)=\det \left( \lambda {{I}_{2}}-A \right)=\det \left( \begin{matrix} \lambda -1 & -2 \\ -3 & \lambda -4 \\ \end{matrix} \right)=\left( \lambda -1 \right)\left( \lambda -4 \right)-\left( -2 \right)\left( -3 \right)={{\lambda }^{2}}-5$$
Định lý Cayley – Hamilton tuyên bố rằng, nếu ta xác định
$$p\left( X \right)={{X}^{2}}-5X-2{{I}_{2}}$$
Sau đó
$$p\left( A \right)={{A}^{2}}-5A-2{{I}_{2}}=\left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \right)$$
Điều mà có thể kiểm tra dễ hơn.
Minh họa về các chiều đặc biệt và ứng dụng:
Cho một ma trận $1\times 1$ $A=\left( a \right)$, đa thức đặc trưng được cho bởi
$$p\left( \lambda \right)=\lambda -a$$
và
$$p\left( A \right)=\left( a \right)-a\left( 1 \right)=0$$
là rõ ràng. Với ma trận $2\times 2$,
$$A=\left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix} \right)$$
đa thức đặc trưng được cho bởi
$$p\left( \lambda \right)={{\lambda }^{2}}-\left( a+d \right)\lambda +\left( ad-bc \right)$$
nên định lý Cayley – Hamilton khẳng định
$$p\left( A \right)={{A}^{2}}-\left( a+d \right)A+\left( ad-bc \right){{I}_{2}}=\left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \right)$$
Nó thực sự luôn luôn như vậy, rõ ràng khi nghiên cứu về giá trị nhập của ${{A}^{2}}$.
Đối với một ma trận khả nghịch $A$ tổng quát $n\times n$, tức là một định thức khác không, ${{A}^{-1}}$ có thể được viết là bậc $\left( n-1 \right)$-th biểu hiện đa thức thuộc $A$: như đã nêu, ý nghĩa định lý Cayley – Hamilton là đồng nhất thức:
$$p\left( A \right)={{A}^{n}}+{{c}_{\left( n-1 \right)}}{{A}^{n-1}}+\ldots +{{c}_{1}}A+{{\left( -1 \right)}^{n}}\det \left( A \right){{I}_{n}}=0$$
với ${{c}_{n-1}}=-tr\left( A \right)$,v.v, $tr\left( A \right)$ là vết của ma trận $A$.
Nó có thể được viết như sau:
$$-{{\left( -1 \right)}^{n}}=\det \left( A \right){{I}_{n}}=A\left( {{A}^{n-1}}+{{c}_{n-1}}{{A}^{n-2}}+\ldots +{{c}_{1}}{{I}_{n}} \right)$$
và bằng cách nhân cả hai phần của $A$ (lưu ý $-{{\left( -1 \right)}^{n}}=-{{\left( -1 \right)}^{n-1}}$), một là dẫn đến biểu thức compact cho nghịch đảo
$${{A}^{-1}}=\frac{{{\left( -1 \right)}^{n-1}}}{\det A}\left( {{A}^{n-1}}+{{c}_{n-1}}{{A}^{n-2}}+\ldots +{{c}_{1}}{{I}_{n}} \right)$$
Với các ma trận lớn hơn, các biểu thức cho hệ số ${{c}_{k}}$ của đa thức đặc trưng liên quan tới các thành phần ma trận ngày càng phức tạp, nhưng chúng cũng có thể được biểu diễn theo vết của lũy thừa của ma trận $A$, sử dụng đồng nhất thức Newton (ít nhất khi vành chứa các số hữu tỉ), do đó dẫn đến sự biểu hiện cho một ma trận liên hợp $A$ như là một đồng nhất thức vết,
$$\det \left( A \right){{A}^{-1}}=\underset{s=0}{\overset{n-1}{\mathop \sum }}\,{{A}^{s}}\underset{{{k}_{1}},{{k}_{2}},\ldots ,{{k}_{n-1}}}{\mathop \sum }\,\underset{l=1}{\overset{n-1}{\mathop \prod }}\,\frac{{{\left( -1 \right)}^{{{k}_{l}}+1}}}{{{l}^{{{k}_{l}}}}{{k}_{l}}!}tr{{\left( {{A}^{l}} \right)}^{{{k}_{l}}}}$$
nơi mà tổng được thực hiện trên $s$ và tập hợp tất cả các phân hoạch nguyên ${{k}_{l}}\ge 0$ thỏa mãn phương trình
$$s+\underset{l=1}{\overset{n-1}{\mathop \sum }}\,l{{k}_{l}}=n-1$$
Ví dụ, trong ví dụ ma trận $2\times 2$ trên, hệ số $-{{c}_{1}}=a+d$, của $\lambda $ ở trên chỉ là một vết của $A$, $trA$, trong khi hệ số hằng ${{c}_{0}}=ad-bc$ có thể được viết là ${}^{1}/{}_{2}\left( {{\left( trA \right)}^{2}}-tr\left( {{A}^{2}} \right) \right)$. (Tất nhiên, nó cũng là định thức của $A$, trong trường hợp này).
Trong thực tế, biểu thức này, ${}^{1}/{}_{2}\left( {{\left( trA \right)}^{2}}-tr\left( {{A}^{2}} \right) \right)$ luôn cho hệ số ${{c}_{n-2}}$ của ${{\lambda }^{n-2}}$ trong đa thức đặc trưng của bất kỳ ma trận $n\times n$ nào; nên, với ma trận $A$ $3\times 3$, tuyên bố của định lý Cayley – Hamilton có thể được viết là
$${{A}^{3}}-\left( trA \right){{A}^{2}}+\frac{1}{2}\left( {{\left( trA \right)}^{2}}-tr\left( {{A}^{2}} \right) \right)A-\det \left( A \right){{I}_{3}}=0$$
khi phía bên phải xác định là một ma trận $3\times 3$ với tất cả các giá trị nhập giảm xuống không. Cũng vậy, định thức trong trường $n=3$ này, bây giờ là
$$\frac{1}{6}\left( {{\left( trA \right)}^{3}}-3tr\left( {{A}^{2}} \right)\left( trA \right)+2tr\left( {{A}^{3}} \right) \right)$$
trừ đi hệ số ${{c}_{n-3}}$ của ${{\lambda }^{n-3}}$ trong trường hợp tổng quát, như bên dưới.
Tương tự, người ta có thể viết một ma trận $A$ $4\times 4$,
$${{A}^{4}}-\left( trA \right){{A}^{3}}+\frac{1}{2}\left( {{\left( trA \right)}^{2}}-tr\left( {{A}^{2}} \right) \right){{A}^{2}}-\frac{1}{6}\left( {{\left( trA \right)}^{3}}-3tr\left( {{A}^{2}} \right)\left( trA \right)+2tr\left( {{A}^{3}} \right) \right)A+\det \left( A \right){{I}_{4}}=0$$
bây giờ, định thức sẽ là
$$\frac{1}{24}\left( {{\left( trA \right)}^{4}}-6tr\left( {{A}^{2}} \right){{\left( trA \right)}^{2}}+3{{\left( tr\left( {{A}^{2}} \right) \right)}^{2}}+8tr\left( {{A}^{3}} \right)tr\left( A \right)-6tr\left( {{A}^{4}} \right) \right)$$
Và tương tự cho các ma trận lớn hơn, với những biểu thức càng phức tạp có hệ số suy diễn được từ đồng nhất thức Newton.
Một phương pháp thực tế để thu được hệ số ${{c}_{k}}$ cho một ma trận tổng quát $n\times n$, năng suất về những phần ở trên hầu như được xem xét kỹ, miễn là không có nghiệm bằng không, dựa vào một biểu thức thay thế với đa thức,
$$p\left( \lambda \right)=\det \left( \lambda {{I}_{n}}-A \right)={{\lambda }^{n}}\exp \left( tr\left( \log \left( {{I}_{n}}-A/\lambda \right) \right) \right)$$
Do đó,
$$p\left( \lambda \right)={{\lambda }^{n}}\exp \left( -tr\underset{m=1}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,\frac{{{\left( \frac{A}{\lambda } \right)}^{m}}}{m} \right)$$
khi số mũ chỉ cần mở rộng tới bậc ${{\lambda }^{n}}$, từ đó $p\left( \lambda \right)$ là bậc của n, mạng lưới lũy thừa âm của $\lambda $ tự động tiêu tan theo định lý Cayley – Hamilton (Một lần nữa, điều này yêu cầu cái vành bao hàm các số hữu tỷ).
Hệ số chung của đa thức đặc trưng tổng quát với n được cho (nhà toán học người Pháp Le Virrier (1811 – 1877)) bởi định thức của các ma trận $m\times m$,
$${{c}_{n-m}}=\frac{{{\left( - \right)}^{m}}}{m!}\left| \begin{matrix} trA & m-1 & 0 & \cdots & {} \\ tr{{A}^{2}} & trA & m-2 & \cdots & {} \\ \vdots & \vdots & {} & {} & \vdots \\ tr{{A}^{m-1}} & tr{{A}^{m-2}} & \cdots & \cdots & 1 \\ tr{{A}^{m}} & tr{{A}^{m-1}} & \cdots & \cdots & trA \\ \end{matrix} \right|$$
Định lý Cayley – Hamilton luôn luôn cung cấp một mối quan hệ giữa các lũy thừa của $A$ (mặc dù không luôn là đơn giản nhất), công nhận một trong các biểu thức đơn giản lôi cuốn những lũy thừa, và ước lượng chúng mà không có tính toán lũy thừa $A^{n}$ hoặc bất kỳ lũy thừa cao nào của $A$ .
Ví dụ, cụ thể $2 \times 2$ ví dụ như ở trên có thể được viết là
$$${{A}^{2}}=5A+2{{I}_{2}}$$
Sau đó, để ví dụ, tiến hành tính toán ${{A}^{4}}$
$${{A}^{3}}=\left( 5A+2{{I}_{2}} \right)A=5{{A}^{2}}+2A=5\left( 5A+2{{I}_{2}} \right)+2A=27A+10{{I}_{2}}{{A}^{4}}={{A}^{3}}A=\left( 27A+10{{I}_{2}} \right)A=27{{A}^{2}}+10A=27\left( 5A+2{{I}_{2}} \right)+10A=145A+54{{I}_{2}}$$
Chứng minh định lý tổng quát:
Như ví dụ trên cho thấy, thu được tuyên bố của định lý Cayley – Hamilton cho một ma trận $n\times n$ $A=\left( {{a}_{i;j}} \right)_{i;j=1}^{n}$ đòi hỏi hai bước: đầu tiên các hệ số ${{c}_{i}}$ của đa thức đặc trưng được xác định bởi sự phát triển như là một đa thức thuộc $t$ của định thức
$$p\left( t \right)=\det \left( t{{I}_{n}}-A \right)=\left| \begin{matrix} t-{{a}_{1;1}} & -{{a}_{1;2}} & \cdots & -{{a}_{1;n}} \\ -{{a}_{2;1}} & t-{{a}_{2;2}} & \cdots & -{{a}_{2;n}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -{{a}_{n;1}} & -{{a}_{n;2}} & \cdots & t-{{a}_{n;n}} \\ \end{matrix} \right|={{t}^{n}}+{{c}_{n-1}}{{t}^{n-1}}+\ldots +{{c}_{1}}t+{{c}_{0}}$$
và sau đó những hệ số này được sử dụng trong một tổ hợp tuyến tính của các lũy thừa của $A$ được tương đương ma trận trống $n\times n$:
$${{A}^{n}}+{{c}_{\left( n-1 \right)}}{{A}^{n-1}}+\ldots +{{c}_{1}}A+{{c}_{0}}{{I}_{n}}=\left( \begin{matrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 \\ \end{matrix} \right)$$
Phía bên trái có thể giải quyết một ma trận $n\times n$ có giá trị nhập (rất lớn) biểu thức đặc trưng trong tập hợp các giá trị nhập ${{a}_{i;j}}$ của $A$, vì vậy định lý Cayley – Hamilton nói rằng biểu thức ${{n}^{2}}$ tương đương với 0. Đối với bất kỳ giá trị cố định nào của đồng nhất thức $n$ có thể thông dụng bằng cách thiếu hấp dẫn nhưng hoàn toàn thao tác đại số không phức tạp. Không có bất kỳ thao tác nào có thể chỉ ra tuy nhiên định lý Cayley – Hamilton có giá trị cho các ma trận có tất cả kích cỡ $n$, nên một chứng cớ đồng dạng cho tất cả $n$ là cần thiết.
Mở đầu:
Nếu một vector $v$ kích thước $n$ ngẫu nhiên là một vector riêng của $A$ với giá trị riêng $\lambda $, nói cách khác nếu $A\cdot v=\lambda v$, sau đó
$$p\left( A \right)\cdot v={{A}^{n}}\cdot v+{{c}_{\left( n-1 \right)}}{{A}^{n-1}}\cdot v+\ldots +{{c}_{1}}A\cdot v+{{c}_{0}}{{I}_{n}}\cdot v={{\lambda }^{n}}v+{{c}_{n-1}}{{\lambda }^{n}}v+\ldots +{{c}_{1}}\lambda v+{{c}_{0}}v=p\left( \lambda \right)v$$
là ma trận trống khi $p\left( A \right)=0$ (các giá trị riêng của $A$ là những nghiệm chính xác của $p\left( t \right)$).
Điều này ảnh hưởng tất cả các giá trị riêng dương $\lambda $, do đó, hai ma trận tương đương cho cùng kết quả (trống) khi áp dụng cho bất kỳ vector riêng nào. Bây giờ nếu $A$ công nhận một cơ sở của các vector riêng, nói cách khác nếu $A$ là chéo hóa được, sau đó định lý Cayley – Hamilton phải ảnh hưởng $A$, từ hai ma trận cho giá trị giống nhau khi áp dụng cho từng thành phần của một cơ sở phải bằng nhau. Không phải tất cả các ma trận đều là chéo hóa được, nhưng đối với ma trận có hệ số phức tạp nhiều trong số chúng là: là tập các ma trận vuông chéo hóa được phức tạp được cho kích thước trù mật trong tập của tất cả các ma trận vuông (đối với một ma trận chéo hóa được đủ để ví dụ rằng đa thức đặc trưng của nó không có bất kỳ nhiều nghiệm nào). Bây giờ nếu bất kỳ biểu thức ${{n}^{2}}$ nào rằng định lý tương tự 0 không thể giảm tới một biểu thức trống, nói cách khác nếu nó là đa thức khác không trong những hệ số của ma trận, sau đó tập hợp của các ma trận phức tạp với những biểu thức này ngẫu nhiên cho 0 không thể trù mật trong tập hợp của tất cả ma trận, trái với thực tế thì định lý ảnh hưởng với mọi ma trận chéo hóa được. Như vậy có thể thấy định lý Cayley – Hamilton phải đúng.
Trong khi điều này cho một bằng chứng vững chắc (đối với ma trận trên trường số phức), các argument rất không thỏa mãn, khi đồng nhất thức tiêu biểu cho định lý không bao giờ phụ thuộc vào ma trận tự nhiên (chéo hóa được hoặc không), cũng không là loại giá trị nhập được cho phép (với các ma trận có giá trị nhập thực của các ma trận chéo hóa được mà hình dáng một tập hợp trù mật, và nó có vẻ mới khi xem xét các ma trận phức tạp để thấy định lý Cayley – Hamilton ảnh hưởng đến chúng). Do đó chúng ta sẽ xem xét ngay bây giờ chỉ các argument chứng minh định lý một cách trực tiếp cho bất kỳ ma trận sử dụng các thao tác đại số; điều này cũng có lợi ích khi làm việc với các ma trận có giá trị nhập trong bất kỳ vành giao hoán nào.
Có nhiều cách chứng minh định lý Cayley – Hamilton, một số ít sẽ được cho sau đây. Chúng khác nhau về số lượng khái niệm đại số trừu tượng yêu cầu hiểu để chứng minh. Chứng minh đơn giản nhất là sử dụng những khái niệm đó cần để đề ra định lý (các ma trận, các đa thức với các gia trị số, định thức), nhưng kéo theo các kỹ thuật tính toán đưa ra một chút bí ẩn trên thực tế chúng dẫn đến chính xác kết luận đúng. Nó có thể tránh vài chi tiết, nhưng giá trị kéo theo nhiều hơn các khái niệm đại số huyền ảo, các đa thức với hệ số trong vành không giao hoán, hoặc các ma trận với các loại khác thường của giá trị nhập.
Ma trận phụ hợp:
Tất cả bằng chứng dưới đây sử dụng các khái niệm về ma trận phụ hợp $adj\left( M \right)$ của ma trận $M$ $n\times n$. Đây là một ma trận mà các hệ số được cho bởi đa thức đặc trưng trong các hệ số của $M$ (thực tế là định thức chắc chắn $\left( n-1 \right)\times \left( n-1 \right)$), trong cách mà nó có các quan hệ cơ bản sau
$$adj\left( M \right)\cdot M=\det \left( M \right){{I}_{n}}=M\cdot adj\left( M \right)$$
Mối quan hệ này là hệ quả tất yếu của những đặc tính cơ bản của định thức: ước lượng của gái trị nhập $\left( i;j \right)$ của ma trận tích bên trái cho khai triển bởi cột $j$, cái mà $\det \left( M \right)$ nếu $i=j$ và mặt khác là không; ma trận tích bên phải cũng tương tự, nhưng khai triển dòng. Hệ quả của chỉ thao tác biểu thức đại sồ, mối quan hệ này có căn cứ với các ma trận với giá trị nhập thuộc bất kỳ vành giao hoán nào (giao hoán phải được giả định với định thức được định nghĩa ngay mặt phẳng đầu tiên). Điều này quan trọng để ghi chú ở đây, vì những mối quan hệ này sẽ áp dụng cho ma trận với giá trị không là số như các đa thức.
Một bằng chứng đại số trực tiếp:
Cách chứng minh này sử dụng như là một loại vật thể cần đề ra định lý Cayley – Hamilton: các ma trận với định thức như các giá trị nhập. Ma trận $t{{I}_{n}}-A$ mà định thức của nó là đa thức đặc trưng của $A$ như là một ma trận, và những đa thức có hình dáng vành giao hoán. Nó là ma trận phụ hợp
$$B=adj\left( t{{I}_{n}}-A \right)$$
Sau đó theo quan hệ cơ bản bên tay phải của ma trận phù hợp có
$$\left( t{{I}_{n}}-A \right)\cdot B=\det \left( t{{I}_{n}}-A \right){{I}_{n}}=p\left( t \right){{I}_{n}}$$
Khi $B$ cũng là ma trận với đa thức $t$ như các giá trị nhập môt ma trận có thể với mỗi $i$ tập hợp những hệ số của $t$ trong mỗi giá trị nhập có hình dáng ma trận $B$ của các số, như cái này có
$$B=\underset{i=0}{\overset{n-1}{\mathop \sum }}\,{{t}^{i}}{{B}_{i}}$$
(Cách các giá trị nhập của B được xác định rõ ràng không có quyền lực cao hơn ${{t}^{n-1}}$ xảy ra). Trong khi nhìn giống như một đa thức với hệ số ma trận như, chúng ta sẽ không xem xét một khái niệm như vậy, nó chỉ là một ma trận với giá trị nhập của đa thức là sự kết hợp tuyến tính của ma trận liên tục, và hệ số ${{t}^{i}}$ đã được ghi vào bên trái của ma trận nhằm nhấn mạnh quan điểm này. Bây giờ người ta có thể mở rộng tích ma trận phương trình của chúng tôi bằng song tuyến tính.
\[\]
Viết là
$$p\left( t \right){{I}_{n}}={{t}^{n}}{{I}_{n}}+{{t}^{n-1}}{{c}_{n-1}}{{I}_{n}}+\ldots +t{{c}_{1}}{{I}_{n}}+{{c}_{0}}{{I}_{n}}$$
Có được sự tương đồng của hai ma trận với giá trị nhập đa thức, viết là tổ hợp tuyến tính của ma trận liên tục với quyền hạn của t là hệ số. Sự bình đẳng này có thể giữ khi ở bất kỳ vị trí nào của ma trận giá trị nhập được nhân với một cho quyền lực ${{t}^{i}}$ là như nhau ở cả hai bên, nó sau đó các ma trận liên tục với hệ số ${{t}^{i}}$ trong cả hai biểu thức phải được bình đẳng. Viết các phương trình này từ $n$ xuống $0$ một phát hiện
$${{B}_{n-1}}={{I}_{n}};~{{B}_{i-1}}-A\cdot {{B}_{i}}={{c}_{i}}{{I}_{n}},~vi~1\le i\le n-1;~-A{{B}_{0}}={{c}_{o}}{{I}_{n}}$$
Chúng ta nhân phương trình của các hệ số của ${{t}^{i}}$ từ cánh trái ${{A}^{i}}$, và tổng hợp, hai bên trái tạo thành một tổng lồng và hủy bỏ hoàn toàn mà kết quả trong phương trình
$$0={{A}^{n}}+{{c}_{n-1}}{{A}^{n-1}}+\ldots +{{c}_{1}}A+{{c}_{0}}{{I}_{n}}=p\left( A \right)$$
Điều này hoàn toàn được chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 05-11-2014 - 18:18