Chủ đề này có 2 trả lời

[hoangtrong2305]

Định lý Caley - Haminton

 

(Đồng Phúc Thiên Phú - Thành viên Chuyên san EXP)

 

Định lý Cayley – Hamilton:
 

Trong đại số tuyến tính, định lý Caley – Hamilton (được đặt tên bởi nhà toán học người Anh Arthur Cayley (1821 – 1895) và nhà toán học người Ireland William Rowan Hamilton (1805 – 1865) ) khẳng định rằng tất cả ma trận vuông trên một vành giao hoán (như trường số thực hoặc trường số phức) thỏa mãn phương trình đặc trưng riêng.
 

Chính xác hơn, nếu $A$ là một ma trận $n\times n$ và ${{I}_{n}}$ là một ma trận đơn vị $n\times n$, sau đó đa thức đặc trưng của $A$ được định nghĩa như sau:

$$p\left( \lambda  \right)=\det \left( \lambda {{I}_{n}}-A \right)$$
“$\det$” là phép tính định thức. Từ đó các giá trị nhập của ma trận là (tuyến tính hoặc hằng) là đa thức thuộc $\lambda $, định thức cũng là một đa thức thứ $n$ thuộc $\lambda $.
Định lý Cayley – Hamilton nói rằng “thay thế” ma trận $A$ cho $\lambda $ kết quả trong đa thức thuộc ma trận không.
$$p\left( A \right)=0$$
Lũy thừa của $A$, thu được bằng cách thay thế từ lũy thừa của $\lambda $, được định nghĩa là lặp đi lặp lại phép nhân ma trận, số hạng hằng của $p\left( A \right)$ cho một bội số của ${{A}^{0}}$, lũy thừa này được định nghĩa là ma trận đơn vị. Định lý thừa nhận ${{A}^{n}}$ được biểu diễn như một sự kết hợp tuyến tính của các ma trận lũy thừa thấp hơn $A$.
Khi vành là một trường, định lý Cayley – Hamilton có tuyên bố tương đương rằng đa thức cực tiểu của một ma trận vuông chia nó ra những đa thức đặc trưng.
Ví dụ:
Hãy xem một ví dụ cụ thể
$$A=\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{matrix} \right)$$

Đa thức đặc trưng của nó được cho
$$p\left( \lambda \right)=\det \left( \lambda {{I}_{2}}-A \right)=\det \left( \begin{matrix} \lambda -1 & -2 \\ -3 & \lambda -4 \\ \end{matrix} \right)=\left( \lambda -1 \right)\left( \lambda -4 \right)-\left( -2 \right)\left( -3 \right)={{\lambda }^{2}}-5$$

Định lý Cayley – Hamilton tuyên bố rằng, nếu ta xác định
$$p\left( X \right)={{X}^{2}}-5X-2{{I}_{2}}$$
Sau đó
$$p\left( A \right)={{A}^{2}}-5A-2{{I}_{2}}=\left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \right)$$

Điều mà có thể kiểm tra dễ hơn.
 

Minh họa về các chiều đặc biệt và ứng dụng:
 

Cho một ma trận $1\times 1$ $A=\left( a \right)$, đa thức đặc trưng được cho bởi
$$p\left( \lambda \right)=\lambda -a$$

và

$$p\left( A \right)=\left( a \right)-a\left( 1 \right)=0$$
là rõ ràng. Với ma trận $2\times 2$,
$$A=\left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix} \right)$$

đa thức đặc trưng được cho bởi
$$p\left( \lambda  \right)={{\lambda }^{2}}-\left( a+d \right)\lambda +\left( ad-bc \right)$$
nên định lý Cayley – Hamilton khẳng định
$$p\left( A \right)={{A}^{2}}-\left( a+d \right)A+\left( ad-bc \right){{I}_{2}}=\left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \right)$$

Nó thực sự luôn luôn như vậy, rõ ràng khi nghiên cứu về giá trị nhập của ${{A}^{2}}$.
Đối với một ma trận khả nghịch $A$ tổng quát $n\times n$, tức là một định thức khác không, ${{A}^{-1}}$ có thể được viết là bậc $\left( n-1 \right)$-th biểu hiện đa thức thuộc $A$: như đã nêu, ý nghĩa định lý Cayley – Hamilton là đồng nhất thức:
$$p\left( A \right)={{A}^{n}}+{{c}_{\left( n-1 \right)}}{{A}^{n-1}}+\ldots +{{c}_{1}}A+{{\left( -1 \right)}^{n}}\det \left( A \right){{I}_{n}}=0$$
với ${{c}_{n-1}}=-tr\left( A \right)$,v.v, $tr\left( A \right)$ là vết của ma trận $A$.
Nó có thể được viết như sau:
$$-{{\left( -1 \right)}^{n}}=\det \left( A \right){{I}_{n}}=A\left( {{A}^{n-1}}+{{c}_{n-1}}{{A}^{n-2}}+\ldots +{{c}_{1}}{{I}_{n}} \right)$$
và bằng cách nhân cả hai phần của $A$ (lưu ý $-{{\left( -1 \right)}^{n}}=-{{\left( -1 \right)}^{n-1}}$), một là dẫn đến biểu thức compact cho nghịch đảo
$${{A}^{-1}}=\frac{{{\left( -1 \right)}^{n-1}}}{\det A}\left( {{A}^{n-1}}+{{c}_{n-1}}{{A}^{n-2}}+\ldots +{{c}_{1}}{{I}_{n}} \right)$$
Với các ma trận lớn hơn, các biểu thức cho hệ số ${{c}_{k}}$ của đa thức đặc trưng liên quan tới các thành phần ma trận ngày càng phức tạp, nhưng chúng cũng có thể được biểu diễn theo vết của lũy thừa của ma trận $A$, sử dụng đồng nhất thức Newton (ít nhất khi vành chứa các số hữu tỉ), do đó dẫn đến sự biểu hiện cho một ma trận liên hợp $A$ như là một đồng nhất thức vết,
$$\det \left( A \right){{A}^{-1}}=\underset{s=0}{\overset{n-1}{\mathop \sum }}\,{{A}^{s}}\underset{{{k}_{1}},{{k}_{2}},\ldots ,{{k}_{n-1}}}{\mathop \sum }\,\underset{l=1}{\overset{n-1}{\mathop \prod }}\,\frac{{{\left( -1 \right)}^{{{k}_{l}}+1}}}{{{l}^{{{k}_{l}}}}{{k}_{l}}!}tr{{\left( {{A}^{l}} \right)}^{{{k}_{l}}}}$$
nơi mà tổng được thực hiện trên $s$ và tập hợp tất cả các phân hoạch nguyên ${{k}_{l}}\ge 0$ thỏa mãn phương trình
$$s+\underset{l=1}{\overset{n-1}{\mathop \sum }}\,l{{k}_{l}}=n-1$$
Ví dụ, trong ví dụ ma trận $2\times 2$ trên, hệ số $-{{c}_{1}}=a+d$, của $\lambda $ ở trên chỉ là một vết của $A$, $trA$, trong khi hệ số hằng ${{c}_{0}}=ad-bc$ có thể được viết là ${}^{1}/{}_{2}\left( {{\left( trA \right)}^{2}}-tr\left( {{A}^{2}} \right) \right)$. (Tất nhiên, nó cũng là định thức của $A$, trong trường hợp này).
Trong thực tế, biểu thức này, ${}^{1}/{}_{2}\left( {{\left( trA \right)}^{2}}-tr\left( {{A}^{2}} \right) \right)$ luôn cho hệ số ${{c}_{n-2}}$ của ${{\lambda }^{n-2}}$ trong đa thức đặc trưng của bất kỳ ma trận $n\times n$ nào; nên, với ma trận $A$ $3\times 3$, tuyên bố của định lý Cayley – Hamilton có thể được viết là
$${{A}^{3}}-\left( trA \right){{A}^{2}}+\frac{1}{2}\left( {{\left( trA \right)}^{2}}-tr\left( {{A}^{2}} \right) \right)A-\det \left( A \right){{I}_{3}}=0$$
khi phía bên phải xác định là một ma trận $3\times 3$ với tất cả các giá trị nhập giảm xuống không. Cũng vậy, định thức trong trường $n=3$ này, bây giờ là
$$\frac{1}{6}\left( {{\left( trA \right)}^{3}}-3tr\left( {{A}^{2}} \right)\left( trA \right)+2tr\left( {{A}^{3}} \right) \right)$$
trừ đi hệ số ${{c}_{n-3}}$ của ${{\lambda }^{n-3}}$ trong trường hợp tổng quát, như bên dưới.
Tương tự, người ta có thể viết một ma trận $A$ $4\times 4$,
$${{A}^{4}}-\left( trA \right){{A}^{3}}+\frac{1}{2}\left( {{\left( trA \right)}^{2}}-tr\left( {{A}^{2}} \right) \right){{A}^{2}}-\frac{1}{6}\left( {{\left( trA \right)}^{3}}-3tr\left( {{A}^{2}} \right)\left( trA \right)+2tr\left( {{A}^{3}} \right) \right)A+\det \left( A \right){{I}_{4}}=0$$
bây giờ, định thức sẽ là
$$\frac{1}{24}\left( {{\left( trA \right)}^{4}}-6tr\left( {{A}^{2}} \right){{\left( trA \right)}^{2}}+3{{\left( tr\left( {{A}^{2}} \right) \right)}^{2}}+8tr\left( {{A}^{3}} \right)tr\left( A \right)-6tr\left( {{A}^{4}} \right) \right)$$
Và tương tự cho các ma trận lớn hơn, với những biểu thức càng phức tạp có hệ số suy diễn được từ đồng nhất thức Newton.
Một phương pháp thực tế để thu được hệ số ${{c}_{k}}$ cho một ma trận tổng quát $n\times n$, năng suất về những phần ở trên hầu như được xem xét kỹ, miễn là không có nghiệm bằng không, dựa vào một biểu thức thay thế với đa thức,
$$p\left( \lambda  \right)=\det \left( \lambda {{I}_{n}}-A \right)={{\lambda }^{n}}\exp \left( tr\left( \log \left( {{I}_{n}}-A/\lambda  \right) \right) \right)$$
Do đó,
$$p\left( \lambda  \right)={{\lambda }^{n}}\exp \left( -tr\underset{m=1}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,\frac{{{\left( \frac{A}{\lambda } \right)}^{m}}}{m} \right)$$
khi số mũ chỉ cần mở rộng tới bậc ${{\lambda }^{n}}$, từ đó $p\left( \lambda  \right)$ là bậc của n, mạng lưới lũy thừa âm của $\lambda $ tự động tiêu tan theo định lý Cayley – Hamilton (Một lần nữa, điều này yêu cầu cái vành bao hàm các số hữu tỷ).
 

Hệ số chung của đa thức đặc trưng tổng quát với n được cho (nhà toán học người Pháp Le Virrier (1811 – 1877)) bởi định thức của các ma trận $m\times m$,
$${{c}_{n-m}}=\frac{{{\left( - \right)}^{m}}}{m!}\left| \begin{matrix} trA & m-1 & 0 & \cdots & {} \\ tr{{A}^{2}} & trA & m-2 & \cdots & {} \\ \vdots & \vdots & {} & {} & \vdots \\ tr{{A}^{m-1}} & tr{{A}^{m-2}} & \cdots & \cdots & 1 \\ tr{{A}^{m}} & tr{{A}^{m-1}} & \cdots & \cdots & trA \\ \end{matrix} \right|$$

Định lý Cayley – Hamilton luôn luôn cung cấp một mối quan hệ giữa các lũy thừa của $A$ (mặc dù không luôn là đơn giản nhất), công nhận một trong các biểu thức đơn giản lôi cuốn những lũy thừa, và ước lượng chúng mà không có tính toán lũy thừa $A^{n}$ hoặc bất kỳ lũy thừa cao nào của $A$  .
Ví dụ, cụ thể $2 \times 2$ ví dụ như ở trên có thể được viết là

$$${{A}^{2}}=5A+2{{I}_{2}}$$
Sau đó, để ví dụ, tiến hành tính toán ${{A}^{4}}$
$${{A}^{3}}=\left( 5A+2{{I}_{2}} \right)A=5{{A}^{2}}+2A=5\left( 5A+2{{I}_{2}} \right)+2A=27A+10{{I}_{2}}{{A}^{4}}={{A}^{3}}A=\left( 27A+10{{I}_{2}} \right)A=27{{A}^{2}}+10A=27\left( 5A+2{{I}_{2}} \right)+10A=145A+54{{I}_{2}}$$

 

Chứng minh định lý tổng quát:

 

Như ví dụ trên cho thấy, thu được tuyên bố của định lý Cayley – Hamilton cho một ma trận $n\times n$ $A=\left( {{a}_{i;j}} \right)_{i;j=1}^{n}$ đòi hỏi hai bước: đầu tiên các hệ số ${{c}_{i}}$ của đa thức đặc trưng được xác định bởi sự phát triển như là một đa thức thuộc $t$ của định thức
$$p\left( t \right)=\det \left( t{{I}_{n}}-A \right)=\left| \begin{matrix} t-{{a}_{1;1}} & -{{a}_{1;2}} & \cdots & -{{a}_{1;n}} \\ -{{a}_{2;1}} & t-{{a}_{2;2}} & \cdots & -{{a}_{2;n}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -{{a}_{n;1}} & -{{a}_{n;2}} & \cdots & t-{{a}_{n;n}} \\ \end{matrix} \right|={{t}^{n}}+{{c}_{n-1}}{{t}^{n-1}}+\ldots +{{c}_{1}}t+{{c}_{0}}$$

và sau đó những hệ số này được sử dụng trong một tổ hợp tuyến tính của các lũy thừa của $A$ được tương đương ma trận trống $n\times n$:
$${{A}^{n}}+{{c}_{\left( n-1 \right)}}{{A}^{n-1}}+\ldots +{{c}_{1}}A+{{c}_{0}}{{I}_{n}}=\left( \begin{matrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 \\ \end{matrix} \right)$$

Phía bên trái có thể giải quyết một ma trận $n\times n$ có giá trị nhập (rất lớn) biểu thức đặc trưng trong tập hợp các giá trị nhập ${{a}_{i;j}}$ của $A$, vì vậy định lý Cayley – Hamilton nói rằng biểu thức ${{n}^{2}}$ tương đương với 0. Đối với bất kỳ giá trị cố định nào của đồng nhất thức $n$ có thể thông dụng bằng cách thiếu hấp dẫn nhưng hoàn toàn thao tác đại số không phức tạp. Không có bất kỳ thao tác nào có thể chỉ ra tuy nhiên định lý Cayley – Hamilton có giá trị cho các ma trận có tất cả kích cỡ $n$, nên một chứng cớ đồng dạng cho tất cả $n$ là cần thiết.
 

Mở đầu:
 

Nếu một vector $v$ kích thước $n$ ngẫu nhiên là một vector riêng của $A$ với giá trị riêng $\lambda $, nói cách khác nếu $A\cdot v=\lambda v$, sau đó
$$p\left( A \right)\cdot v={{A}^{n}}\cdot v+{{c}_{\left( n-1 \right)}}{{A}^{n-1}}\cdot v+\ldots +{{c}_{1}}A\cdot v+{{c}_{0}}{{I}_{n}}\cdot v={{\lambda }^{n}}v+{{c}_{n-1}}{{\lambda }^{n}}v+\ldots +{{c}_{1}}\lambda v+{{c}_{0}}v=p\left( \lambda  \right)v$$
là ma trận trống khi $p\left( A \right)=0$ (các giá trị riêng của $A$ là những nghiệm chính xác của $p\left( t \right)$). 

 

Điều này ảnh hưởng tất cả các giá trị riêng dương $\lambda $, do đó, hai ma trận tương đương cho cùng kết quả (trống) khi áp dụng cho bất kỳ vector riêng nào. Bây giờ nếu $A$ công nhận một cơ sở của các vector riêng, nói cách khác nếu $A$ là chéo hóa được, sau đó định lý Cayley – Hamilton phải ảnh hưởng $A$, từ hai ma trận cho giá trị giống nhau khi áp dụng cho từng thành phần của một cơ sở phải bằng nhau. Không phải tất cả các ma trận đều là chéo hóa được, nhưng đối với ma trận có hệ số phức tạp nhiều trong số chúng là: là tập các ma trận vuông chéo hóa được phức tạp được cho kích thước trù mật trong tập của tất cả các ma trận vuông (đối với một ma trận chéo hóa được đủ để ví dụ rằng đa thức đặc trưng của nó không có bất kỳ nhiều nghiệm nào). Bây giờ nếu bất kỳ biểu thức ${{n}^{2}}$ nào rằng định lý tương tự 0 không thể giảm tới một biểu thức trống, nói cách khác nếu nó là đa thức khác không trong những hệ số của ma trận, sau đó tập hợp của các ma trận phức tạp với những biểu thức này ngẫu nhiên cho 0 không thể trù mật trong tập hợp của tất cả ma trận, trái với thực tế thì định lý ảnh hưởng với mọi ma trận chéo hóa được. Như vậy có thể thấy định lý Cayley – Hamilton phải đúng.
 

Trong khi điều này cho một bằng chứng vững chắc (đối với ma trận trên trường số phức), các argument rất không thỏa mãn, khi đồng nhất thức tiêu biểu cho định lý không bao giờ phụ thuộc vào ma trận tự nhiên (chéo hóa được hoặc không), cũng không là loại giá trị nhập được cho phép (với các ma trận có giá trị nhập thực của các ma trận chéo hóa được mà hình dáng một tập hợp trù mật, và nó có vẻ mới khi xem xét các ma trận phức tạp để thấy định lý Cayley – Hamilton ảnh hưởng đến chúng). Do đó chúng ta sẽ xem xét ngay bây giờ chỉ các argument chứng minh định lý một cách trực tiếp cho bất kỳ ma trận sử dụng các thao tác đại số; điều này cũng có lợi ích khi làm việc với các ma trận có giá trị nhập trong bất kỳ vành giao hoán nào.
 

Có nhiều cách chứng minh định lý Cayley – Hamilton, một số ít sẽ được cho sau đây. Chúng khác nhau về số lượng khái niệm đại số trừu tượng yêu cầu hiểu để chứng minh. Chứng minh đơn giản nhất là sử dụng những khái niệm đó cần để đề ra định lý (các ma trận, các đa thức với các gia trị số, định thức), nhưng kéo theo các kỹ thuật tính toán đưa ra một chút bí ẩn trên thực tế chúng dẫn đến chính xác kết luận đúng. Nó có thể tránh vài chi tiết, nhưng giá trị kéo theo nhiều hơn các khái niệm đại số huyền ảo, các đa thức với hệ số trong vành không giao hoán, hoặc các ma trận với các loại khác thường của giá trị nhập.
 

Ma trận phụ hợp:
 

Tất cả bằng chứng dưới đây sử dụng các khái niệm về ma trận phụ hợp $adj\left( M \right)$ của ma trận $M$ $n\times n$. Đây là một ma trận mà các hệ số được cho bởi đa thức đặc trưng trong các hệ số của $M$ (thực tế là định thức chắc chắn $\left( n-1 \right)\times \left( n-1 \right)$), trong cách mà nó có các quan hệ cơ bản sau
$$adj\left( M \right)\cdot M=\det \left( M \right){{I}_{n}}=M\cdot adj\left( M \right)$$
Mối quan hệ này là hệ quả tất yếu của những đặc tính cơ bản của định thức: ước lượng của gái trị nhập $\left( i;j \right)$ của ma trận tích bên trái cho khai triển bởi cột $j$, cái mà $\det \left( M \right)$ nếu $i=j$ và mặt khác là không; ma trận tích bên phải cũng tương tự, nhưng khai triển dòng. Hệ quả của chỉ thao tác biểu thức đại sồ, mối quan hệ này có căn cứ với các ma trận với giá trị nhập thuộc bất kỳ vành giao hoán nào (giao hoán phải được giả định với định thức được định nghĩa ngay mặt phẳng đầu tiên). Điều này quan trọng để ghi chú ở đây, vì những mối quan hệ này sẽ áp dụng cho ma trận với giá trị không là số như các đa thức.
 

Một bằng chứng đại số trực tiếp:
 

Cách chứng minh này sử dụng như là một loại vật thể cần đề ra định lý Cayley – Hamilton: các ma trận với định thức như các giá trị nhập. Ma trận $t{{I}_{n}}-A$ mà định thức của nó là đa thức đặc trưng của $A$ như là một ma trận, và những đa thức có hình dáng vành giao hoán. Nó là ma trận phụ hợp
$$B=adj\left( t{{I}_{n}}-A \right)$$
Sau đó theo quan hệ cơ bản bên tay phải của ma trận phù hợp có
$$\left( t{{I}_{n}}-A \right)\cdot B=\det \left( t{{I}_{n}}-A \right){{I}_{n}}=p\left( t \right){{I}_{n}}$$
Khi $B$ cũng là ma trận với đa thức $t$ như các giá trị nhập môt ma trận có thể với mỗi $i$ tập hợp những hệ số của $t$ trong mỗi giá trị nhập có hình dáng ma trận $B$ của các số, như cái này có
$$B=\underset{i=0}{\overset{n-1}{\mathop \sum }}\,{{t}^{i}}{{B}_{i}}$$
(Cách các giá trị nhập của B được xác định rõ ràng không có quyền lực cao hơn ${{t}^{n-1}}$ xảy ra). Trong khi nhìn giống như một đa thức với hệ số ma trận như, chúng ta sẽ không xem xét một khái niệm như vậy, nó chỉ là một ma trận với giá trị nhập của đa thức là sự kết hợp tuyến tính của ma trận liên tục, và hệ số ${{t}^{i}}$ đã được ghi vào bên trái của ma trận nhằm nhấn mạnh quan điểm này. Bây giờ người ta có thể mở rộng tích ma trận phương trình của chúng tôi bằng song tuyến tính.
\[\]
Viết là
$$p\left( t \right){{I}_{n}}={{t}^{n}}{{I}_{n}}+{{t}^{n-1}}{{c}_{n-1}}{{I}_{n}}+\ldots +t{{c}_{1}}{{I}_{n}}+{{c}_{0}}{{I}_{n}}$$
Có được sự tương đồng của hai ma trận với giá trị nhập đa thức, viết là tổ hợp tuyến tính của ma trận liên tục với quyền hạn của t là hệ số. Sự bình đẳng này có thể giữ khi ở bất kỳ vị trí nào của ma trận giá trị nhập được nhân với một cho quyền lực ${{t}^{i}}$ là như nhau ở cả hai bên, nó sau đó các ma trận liên tục với hệ số ${{t}^{i}}$ trong cả hai biểu thức phải được bình đẳng. Viết các phương trình này từ $n$ xuống $0$ một phát hiện
$${{B}_{n-1}}={{I}_{n}};~{{B}_{i-1}}-A\cdot {{B}_{i}}={{c}_{i}}{{I}_{n}},~vi~1\le i\le n-1;~-A{{B}_{0}}={{c}_{o}}{{I}_{n}}$$
Chúng ta nhân phương trình của các hệ số của ${{t}^{i}}$ từ cánh trái ${{A}^{i}}$, và tổng hợp, hai bên trái tạo thành một tổng lồng và hủy bỏ hoàn toàn mà kết quả trong phương trình
$$0={{A}^{n}}+{{c}_{n-1}}{{A}^{n-1}}+\ldots +{{c}_{1}}A+{{c}_{0}}{{I}_{n}}=p\left( A \right)$$
Điều này hoàn toàn được chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 05-11-2014 - 18:18

[hoangtrong2305]

Một tổng hợp của hai chứng minh đầu tiên:
 

Trong chứng minh đầu tiên, ai cũng có thể xác định hệ số ${{B}_{i}}$ dựa trên mối quan hệ bàn tay phải cơ bản chỉ dùng cho ma trận phụ hợp. Trong thực tế đầu tiên $n$ phương trình ban đầu có thể được hiểu là việc xác định thương B của phép chia Euclide của đa thức $p\left( t \right){{I}_{n}}$ ở bên trái của đa thức Monic ${{I}_{n}}t~A$, trong khi phương trình cuối cùng thể hiện phần dư là $0$. Sự phân chia này được thực hiện trong vành đa thức với hệ số ma trận. Thật vậy, ngay cả trên một vành không giao hoán, Phép chia Euclide của một đa thức Monic $P$ được xác định, và luôn tạo ra một thương duy nhất và còn lại với điều kiện cùng một mức độ như trong trường hợp giao hoán, miễn là nó được quy định tại đó một mặt muốn $P$ để là một yếu tố (ở đây có nghĩa là bên trái). Để thấy rằng thương và phần dư là duy nhất (đó là phần quan trọng của tuyên bố ở đây), nó cũng đủ để viết $PQ+r~=~P{Q}'+{r}'$ như $P\left( Q-{Q}' \right)={r}'r$ và quan sát kể từ khi $P$ là Monic. $P\left( Q-{Q}' \right)$ không thể có một mức độ ít hơn so với $P$, trừ khi $Q={Q}'$. Tuy nhiên số bị chia $p\left( t \right){{I}_{n}}$ và số chia ${{I}_{n}}t-A$ sử dụng ở đây cả hai đều nằm trong vành con $\left( R\left[ A \right] \right)\left[ t \right]$, trong đó $R\left[ A \right]$ là vành con của vành ma trận $M\left( n;~R \right)$ được tạo bởi $A$: Các $R$ khoảng – tuyến tính của tất cả các quyền hạn của một. Do đó việc phân chia Euclid có thể trong thực tế được thực hiện trong đó giao hoán vành đa thức, và tất nhiên nó sau đó cung cấp cho cùng một thương $B$ và còn lại là $0$ trong vành lớn hơn; đặc biệt cho thấy rằng trong thực tế $B$ nằm trong $\left( R\left[ A \right] \right)\left[ t \right]$. Tuy nhiên trong bối cảnh giao hoán này, nó có giá trị để thiết lập $t$ để Một trong phương trình $p\left( t \right){{I}_{n}}=\left( {{I}_{n}}t-A \right)B$, nói cách khác áp dụng các ánh xạ để đánh giá
$$e{{v}_{A}}:\left( R\left[ A \right] \right)\left[ t \right]\to R\left[ A \right]$$
Mà là một đồng cấu vành, cho
$$p\left( A \right)=0\cdot e{{v}_{A}}\left( B \right)=0$$

Giống như trong các giấy tờ chứng minh thứ hai, như mong muốn.

 

Ngoài việc chứng minh định lý, tham số trên cho chúng ta biết rằng các hệ số ${{B}_{i}}$ của $B$ là đa thức trong một, trong khi bằng chứng thứ hai chúng ta chỉ biết rằng chúng nằm trong vành con trung tâm $Z$ của $A$, nói chung $Z$ là một vành con lớn hơn $R\left[ A \right]$, và không nhất thiết phải giao hoán. Đặc biệt là hạn liên tục ${{B}_{0}}=adj\left( -A \right)$ nằm trong $R\left[ A \right]$. Từ $A$ là một ma trận vuông tùy ý, điều này chứng minh rằng $adj\left( A \right)$ luôn luôn có thể được thể hiện như một đa thức trong $A$ (với hệ số phụ thuộc vào $A$), một cái gì đó không phải rõ ràng từ định nghĩa của ma trận phù hợp. Trong thực tế các phương trình luôn tìm thấy những chứng minh đầu tiên cho phép tính liên tục thể hiện ${{B}_{n-1}};\ldots ;{{B}_{1}};{{B}_{0}}$ giống như các đa thức trong $A$, nó dẫn đến đồng nhất thức
$$adj\left( -A \right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop \sum }}\,{{c}_{i}}{{A}^{i-1}}$$
Giá trị cho tất cả $n\times m$ các ma trận, nơi
$${{t}^{n}}+{{c}_{n-1}}{{t}^{n-1}}+\ldots +{{c}_{1}}t+{{c}_{0}}$$
là đa thức đặc trưng của $A$. Chú ý rằng sự nhận biết này hàm ý báo cáo kết quả của định lý Cayley – Hamilton: một người nào đó có thể di chuyển $adj\left( -A \right)$ để phía bên tay phải, nhân phương trình kết quả (ở bên phải hay bên trái) bởi $A$, và sử dụng thực tế là
$$-A\cdot adj~\left( -A \right)=adj\left( -A \right)\cdot -A=\det \left( -A \right){{I}_{n}}={{c}_{0}}{{I}_{n}}$$
 

Một chứng minh sử dụng ma trận tự đồng cấu:
 

Như đã đề cập như trên, ma trận $p\left( A \right)$ trong tuyên bố của định lý thu được bằng cách đầu tiên đánh giá định thức và sau đó thay thế ma trận $A$ cho $t$; làm mà vào ma trận $t{{I}_{n}}-A$ trước khi đánh giá các định thức là không có ý nghĩa. Tuy nhiên, nó có thể đưa ra một giải thích nơi $p\left( A \right)$ thu được trực tiếp như giá trị của một định thức nhất định, nhưng điều này đòi hỏi một môi trường phức t các tạp hơn, một trong những ma trận trên một chiếc nhẫn, trong đó người ta có thể giải thích tất cả các mục ${{A}_{i;j}}$ của $A$, và $A$ của chính nó. Nhưng xem xét các ma trận với các ma trận như có thể gây nhầm lẫn với khối ma trận, đó không phải là dự định, như cung cấp cho các quan niệm sai lầm của các định thức (nhớ lại rằng định thức của một ma trận được xác định là một khoản mục sản phẩm của nó, và trong trường hợp của ma trận khối này nói chung là không giống như số tiền tương ứng với các sản phẩm của các khối của nó!). Đó là rõ ràng để phân biệt một từ $\varphi $ tự đồng cấus của một n chiều không gian vector V (hoặc  $R$-module tự do nếu $R$ không phải là một lĩnh vực) theo quy định của nó trong cơ sở ${{e}_{1}};\ldots ;{{e}_{n}}$ và để có ma trận kết thúc vành $\left( V \right)$ của tất cả tự đồng cấus như vậy. Sau đó $\left( \varphi \in End~\left( V \right) \right)$ là một mục nhập ma trận có thể, trong khi một chỉ định các yếu tố của $M~\left( n;End\left( V \right) \right)$ mà $I$,j nhập là tự đồng cấu của phép nhân vô hướng ${{A}_{i;j}}$ trên $M\left( n;End\left( V \right) \right)$: này chỉ có thể được thực hiện cho các ma trận trên một subring giao hoán của $End\left( V \right)$. Bây giờ mục của ma trận $\varphi {{I}_{n}}-A$ đều nằm trong vành trong $R\left[ \varphi  \right]$ tạo ra bởi các sắc và $\varphi $, đó là giao hoán. Sau đó một định thức ánh xạ $M\left( n;R\left[ \varphi  \right]\to R\left[ \varphi  \right] \right)$ được xác định và $\det \left( \varphi {{I}_{n}}-A \right)$ đánh giá với giá trị $p\left( \varphi  \right)$ của đa thức đặc trưng của $A$ tại $\varphi $ (điều này giữa độc lập giữa mối quan hệ giữa A và $\varphi $); định lý Cayley-Hamilton nói rằng $p\left( \varphi  \right)$ là tự đồng cấu trống.
 

Trong dạng này, ta có thể thu được các chứng minh sau đây (Atiyah và MacDonald 1969, Prop 2.4) (mà trong thực tế là tuyên bố chung liên quan đến bổ đề Nakayama; nó cho lý tưởng trong đề xuất toàn bộ vành $R)$. Thực tế $A$ là ma trận của $\varphi $ trong cơ sở ${{e}_{1}};\ldots ;{{e}_{n}}$ có nghĩa là
$$\varphi \left( {{e}_{i}} \right)=\underset{j=1}{\overset{n}{\mathop \sum }}\,{{A}_{j;i}}{{e}_{j}}~vi~i=1,\ldots ,n$$
Người ta có thể giải thích điều này như n thành phần của một phương trình trong ${{V}^{n}}$, mà các thành viên có thể được viết bằng cách sử dụng sản phẩm ma trận vector $M\left( n;End\left( V \right) \right)\times {{V}^{n}}\to ~{{V}^{n}}$ được định nghĩa như bình thường, nhưng với mục cá nhân $\psi \in End\left( V \right)$ và v trong V là "nhân giống" bằng cách hình thành ; này đưa ra:
$$\varphi {{I}_{n}}\cdot E={{A}^{tr}}\cdot E$$
nơi là yếu tố mà thành phần $i$ là ${{e}_{i}}$ (nói cách khác đó là cơ sở ${{e}_{1}};\ldots ;{{e}_{n}}$ của V bằng văn bản như là một cột của vector). Viết phương trình này là
$$\left( \varphi {{I}_{n}}-{{A}^{tr}} \right)\cdot E=0\in {{V}^{n}}$$
được xem như sự chuyển vị của của ma trận $\varphi {{I}_{n}}-A~$ miêu tả ở trên, và định thức của nó (như yếu tố M (n , R [φ])) cũng là p (φ). Để lấy được từ phương trình này mà p(φ) = 0 ∈ End (V ), một trái bội bởi các ma trận adjugate của , được định nghĩa trong vành ma trận $M\left( ~n;R\left[ \varphi  \right] \right)$, cho
$$0=adj\left( \varphi {{I}_{n}}-{{A}^{tr}} \right)\cdot \left( \left( \varphi {{I}_{n}}-{{A}^{tr}} \right)\cdot E \right)=\left( adj\left( \varphi {{I}_{n}}-{{A}^{tr}} \right)\cdot \left( \varphi {{I}_{n}}-{{A}^{tr}} \right) \right)\cdot E=\left( \det \left( \text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }{{\text{I}}_{\text{n}}}-{{A}^{tr}} \right){{I}_{n}} \right)\cdot E=\left( p\left( \varphi  \right){{I}_{n}} \right)\cdot E$$
Sự kết hợp của ma trận, ma trận và ma trận vector nhân được sử dụng trong bước đầu tiên là một tài sản hoàn toàn chính thức của những người hoạt động, độc lập về bản chất của các mục. Bây giờ thành phần i của phương trình này nói rằng $p\left( \varphi  \right)\left( ~{{e}_{i}} \right)=0\in V~$; do đó $p\left( \varphi  \right)$ biến mất trên tất cả các ${{e}_{i}}$, và vì những yếu tố này tạo ra $V$ nó sau đó $p~\left( \varphi  \right)=0\in End\left( V \right)$, hoàn thành các giấy tờ chứng minh.Một thực tế bổ sung sau từ bằng chứng này là ma trận A có đa thức đặc trưng được thực hiện không cần phải được đồng nhất với giá trị $\varphi $ thay ra đa thức đó; nó cũng đủ rằng $\varphi $ là một tự đồng cấu của V đáp ứng các phương trình ban đầu

$$\varphi \left( {{e}_{i}} \right)=\underset{j}{\mathop \sum }\,{{A}_{j;i}}{{e}_{j}}$$
cho một chuỗi các phần tử ${{e}_{1}};\ldots ;{{e}_{n}}$ tạo ra $V$ (mà không gian có thể có kích thước nhỏ hơn $n$, hoặc trong trường hợp vành R không phải là một lĩnh vực nó có thể không phải là một mô-đun miễn phí ở tất cả)
 

“Chứng minh” không thật: $p\left( A \right)=\det \left( A{{I}_{n}}-A \right)=\det \left( A-A \right)=0$
 

Một lý lẽ cơ bản nhưng không chính xác cho định lý đơn giản là lấy định nghĩa
$$p\left( \lambda  \right)=\det \left( \lambda {{I}_{n}}-A \right)$$
và thay thế $A$ cho $\lambda $, có được
$$p\left( A \right)=\det \left( A{{I}_{n}}-A \right)=\det \left( A-A \right)=0$$
Có rất nhiều cách để thấy tại sao lý lẽ này là sai. Đầu tiên, trong định lý Cayley – Hamilton, \[\].  là một ma trận $n\times n$. Tuy nhiên, phía bên phải của phương trình là giá trị của định thức, là một vô hướng. Cho nên chúng không thể bằng nhau trừ khi $n=1$ (tức là $A$ chỉ là vô hướng). Thứ hai, trong biểu thức $\det \left( \lambda {{I}_{n}}-A \right)$, một biến số $\lambda $ thực sự xảy ra tại các giá trị nhập đường chéo của ma trận $\left( \lambda {{I}_{n}}-A \right)$. Để minh họa, hãy xem xét một đa thức đặc trưng trong ví dụ trước một lần nữa:
$$\det \left( \begin{matrix} \lambda -1 & -2 \\ -3 & \lambda -4 \\ \end{matrix} \right)$$

Nếu thay thế toàn bộ các giá trị nhập ma trận $A$ cho $\lambda $ trong những vị trí đó, có được
$$\det \left( \begin{matrix} \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{matrix} \right)-1 & -2 \\ -3 & \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{matrix} \right)-4 \\ \end{matrix} \right)$$

Trong 2 biểu thức “ma trận” đơn giản là không là một giá trị. Lưu ý, tuy nhiên, nếu bội vô hướng của các ma trận đồng nhất thức thay vì vô hướng được trừ ở trên, tức là phép thế được thực hiện
$$\det \left( \begin{matrix} \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{matrix} \right)-{{I}_{2}} & -2{{I}_{2}} \\ -3{{I}_{2}} & \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{matrix} \right)-4{{I}_{2}} \\ \end{matrix} \right)$$

sau đó định thức đúng là không, nhưng ma trận mở rộng được đề cập không đánh giá $A{{I}_{n}}-A$; cũng không thể có định thức (vô hướng) so sánh với $p\left( A \right)$ (một ma trận). Cho nên lý lẽ $p\left( A \right)=\det \left( A{{I}_{n}}-A \right)$ vẫn không được ứng dụng.
Trên thực tế, nếu một lý lẽ ảnh hưởng, nó cũng nên ảnh hưởng các dạng đa tuyến thay vì định thức được sử dụng. Ví dụ, nếu chúng ta xem xét một hàm liên tục và xác định $p\left( \lambda  \right)=perm\left( \lambda {{I}_{n}}-A \right)$, sau đó bằng các lý lẽ tương tự, chúng ta có thể “chứng minh” rằng $p\left( A \right)=0$. Nhưng tuyên bố này rõ ràng là sai. Trong trường hợp 2 chiều, ví dụ một ma trận liên tục được cho bởi
$$perm\left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix} \right)=ad+bc$$

Vì vậy, với ma trận $A$ trong ví dụ trước, 

$$q\left( \lambda \right)=perm\left( \lambda {{I}_{2}}-A \right)=perm\left( \begin{matrix} \lambda -1 & -2 \\ -3 & \lambda -4 \\ \end{matrix} \right)=\left( \lambda -1 \right)\left( \lambda -4 \right)+\left( -2 \right)\left( -3 \right)={{\lambda }^{2}}-5\lambda +10$$

Tuy nhiên người ta có thể kiểm tra rằng
$$q\left( A \right)={{A}^{2}}-5A+10{{I}_{2}}=12{{I}_{2}}\ne 0$$
Một trong những bằng chứng với định lý Cayley – Hamilton mang một số điểm tương đồng với lý lẽ $p\left( A \right)=\det \left( A{{I}_{n}}-A \right)=0$. Bằng cách đưa ra một ma trận với hệ số không phải số, ai có thể thực sự cho $A$ sống trong một giá trị nhập ma trận, nhưng sau đó $A{{I}_{n}}$ không bằng $A$ và kết luận cũng đạt được nhau
 

Trừu tượng và khái quát:
 

Các bằng chứng trên cho thấy định lý Cayley – Hamilton ảnh hưởng cho các ma trận với các giá trị nhập trong bất kỳ vành giao hoán $R$ nào, và $p\left( \varphi  \right)=0$ sẽ ảnh hưởng mỗi khi $\varphi $ là một tự đồng cấu cấu của một module $R$ được tạo bởi các phần tử ${{e}_{1}},\ldots ,{{e}_{n}}$ thỏa mãn
$\varphi \left( {{e}_{j}} \right)=\mathop{\sum }^{}{{a}_{ij}}{{e}_{i}},~vi~j=1,\ldots ,n$
Đây là phiên bản tổng quát của định lý là nguồn gốc của sự nổi tiếng của bổ đề Nakayama trong đại số giao hoán và đại số dạng hình học.

 

Đây là một trong các sản phẩm của nhóm chuyên san EXP, trực thuộc CLB học thuật, khoa Toán - Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp. Hồ Chí Minh. Trong hơn 3 năm qua nhóm chúng tôi đã thực hiện các dự án quy mô nhỏ nhằm cải thiện tình trạng giáo dục Việt Nam, hút lại chất xám từ nước ngoài trở về, và hiện đại hóa các công cụ Toán học trong nước.

 

Bài viết này được dịch từ http://en.wikipedia....amilton_theorem

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 14-11-2014 - 23:39

[Qualy Kelvin]

admin cho em hỏi là một ma trận vuông cấp n, thì đa thức đặc trưng của nó là đa thức bậc n đúng hay sai ạ? em cảm ơn