Chủ đề này có 5 trả lời

[huy2403exo]

1. Chứng minh rằng với mọi số $a;b;c$ không âm ta luôn có 

                $a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)\geq (ab+bc+ac)\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}$

2. Cho $a;b;c$ là các số thực không âm . Chứng minh :

     $\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leq 8$

3. Chứng minh với mọi số $a;b;c$ dương ta luôn có :

$\frac{a^3}{b^3+c^3}+\frac{b^3}{c^3+a^3}+\frac{c^3}{a^3+b^3}\geq \frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}$

4. Với a;b;c là các số thực dương tuỳ ý . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

                                      $\frac{3a}{b+c}+\frac{4b}{a+c}+\frac{5c}{a+b}$

[dogsteven]

Bài 1: Chuẩn hóa $(a+b)(b+c)(c+a)=8 \Leftrightarrow ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc=8$

 

Vì vậy ta cần chứng minh: $8-2abc \geqslant 2(ab+bc+ca)$

 

Bất đẳng thức này không khó chứng minh.

 

Bài 2: Chuẩn hóa $a+b+c=3$ rồi dùng phương pháp UCT.

 

Bài 4: $\dfrac{3a}{b+c}+\dfrac{4b}{c+a}+\dfrac{5c}{a+b}+12=(a+b+c)\left (\dfrac{3}{b+c}+\dfrac{4}{c+a}+\dfrac{5}{a+b} \right)$

 

Dùng Cauchy-Schwarz.

[nguyenhongsonk612]

 

4. Với a;b;c là các số thực dương tuỳ ý . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

                                      $P\frac{3a}{b+c}+\frac{4b}{a+c}+\frac{5c}{a+b}$

Áp dụng BĐT S-vác ta có

$P+12=(a+b+c)\begin{pmatrix} \frac{3}{b+c}+\frac{4}{c+a}+\frac{5}{a+b} \end{pmatrix}\geq (a+b+c).\frac{(\sqrt{3}+2+\sqrt{5})^2}{2(a+b+c)}=\frac{(\sqrt{3}+2+\sqrt{5})^2}{2}$

$\Rightarrow P\geq \frac{(\sqrt{3}+2+\sqrt{5})^2}{2}-12$

[KietLW9]

3. Chứng minh với mọi số $a;b;c$ dương ta luôn có :

$\frac{a^3}{b^3+c^3}+\frac{b^3}{c^3+a^3}+\frac{c^3}{a^3+b^3}\geq \frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}$

Đây là bài toán tổng quát: Cho $a,b,c>0$ và $r,s$ là các số thực dương sao cho $r\geqslant s$. Chứng minh: $\frac{a^r}{b^r+c^r}+\frac{b^r}{c^r+a^r}+\frac{c^r}{a^r+b^r}\geqslant \frac{a^s}{b^s+c^s}+\frac{b^s}{c^s+a^s}+\frac{c^s}{a^s+b^s}$

Dạng thường gặp của bài này là: $\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\geqslant \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$

[KietLW9]

2. Cho $a;b;c$ là các số thực không âm . Chứng minh :

     $\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leq 8$

Ta có: $\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}-\frac{4}{3}.\frac{4a+b+c}{a+b+c}=\frac{-(b+c-2a)^2(5a+b+c)}{3(a+b+c)[2a^2+(b+c)^2]}\leqslant 0\Rightarrow\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}\leqslant \frac{4}{3}.\frac{4a+b+c}{a+b+c}$ 

Tương tự rồi cộng lại, ta được: $\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leqslant \frac{4}{3}.\frac{6(a+b+c)}{a+b+c}=8(Q.E.D)$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

[PDF]

3. Chứng minh với mọi số $a;b;c$ dương ta luôn có :

$\frac{a^3}{b^3+c^3}+\frac{b^3}{c^3+a^3}+\frac{c^3}{a^3+b^3}\geq \frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}$

$$VT-VP=(a^{4}+b^{4}+c^{4}+a^{3}b+a^{3}c+b^{3}c+b^{3}a+c^{3}a+c^{3}b+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+a^{2}b^{2}+a^{2}bc+b^{2}ca+c^{2}ab)\cdot \left[\frac{b^{2}c^{2}(b-c)^{2}}{(a^{3}+b^{3})(a^{3}+c^{3})(a^{2}+b^{2})(a^{2}+c^{2})}+\frac{c^{2}a^{2}(c-a)^{2}}{(b^{3}+c^{3})(b^{3}+a^{3})(b^{2}+c^{2})(b^{2}+a^{2})}+\frac{a^{2}b^{2}(a-b)^{2}}{(c^{3}+a^{3})(c^{3}+b^{3})(c^{2}+a^{2})(c^{2}+b^{2})}\right].$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 21-04-2021 - 17:10