Chủ đề này có 1 trả lời

[Dung Du Duong]

Cho $x_{n} = \frac{n+1}{2^{n+1}}\left ( \frac{2}{1}+\frac{2^{2}}{2}+...+\frac{2^{n}}{n} \right )$

Tìm $\lim_{x\to+\infty }x_{n}$   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dung Du Duong: 07-11-2014 - 21:19

[dark templar]

Cho $x_{n} = \frac{n+1}{2^{n+1}}\left ( \frac{2}{1}+\frac{2^{2}}{2}+...+\frac{2^{n}}{n} \right )$

Tìm $\lim_{x\to+\infty }x_{n}$   

Dễ thấy $x_{n}=\frac{n+1}{2n}\left ( x_{n-1}+1 \right )(*)$ và $x_{n}-x_{n-1}=\frac{n+1-(n-1)x_{n-1}}{2n}$.

 

Quy nạp $x_{n}\geq \frac{n}{n+2}$ cho ta $x_n<x_{n-1}$ hay $(x_n)$ là dãy giảm và chặn dưới bởi 0 nên nó sẽ có giới hạn hữu hạn.

 

Từ $(*)$,ta dễ dàng có $\lim x_n=1$.