Cho $a , b , c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác . Chứng minh :
$\sum a\left ( \frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\leq 3+\sum \frac{a^{2}}{bc}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoaadc08: 09-11-2014 - 23:23
Cho $a , b , c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác . Chứng minh :
$\sum a\left ( \frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\leq 3+\sum \frac{a^{2}}{bc}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoaadc08: 09-11-2014 - 23:23
Cho $a , b , c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác . Chứng minh :
$\sum a\left ( \frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\leq 3+\sum \frac{a^{2}}{bc}$
Nhân $abc$ cho 2 vế thì bất đẳng thức trở thành
$a^3+b^3+c^3+3abc \geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$
Theo bất đẳng thức Cô-si thì
$ab(a+b) \leq \frac{1}{2}\left( \frac{ab(a+b)(a+c)}{b+c}+\frac{ab(a+b)(b+c)}{a+c}\right)$
$bc(b+c) \leq \frac{1}{2}\left( \frac{bc(b+c)(b+a)}{c+a}+\frac{bc(b+c)(c+a)}{b+a}\right)$
$ca(c+a) \leq \frac{1}{2}\left( \frac{ca(c+a)(c+b)}{a+b}+\frac{ca(c+a)(a+b)}{c+b}\right)$
Suy ra
$\sum ab(a+b) \leq \frac{1}{2}\sum\left(\frac{ab(a+b)(a+c)}{b+c}+\frac{ca(c+a)(a+b)}{c+b} \right)$
$=\frac{1}{2} \sum\left(a(a+b)(a+c) \right)$
$=\frac{1}{2}\left(a^3+b^3+c^3+3abc+\sum ab(a+b) \right)$
hay
$a^3+b^3+c^3+3abc \geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh