Chủ đề này có 3 trả lời

[hoaadc08]

Cho $a , b , c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác . Chứng minh :

$\sum a\left ( \frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\leq 3+\sum \frac{a^{2}}{bc}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoaadc08: 09-11-2014 - 23:23

[hoaadc08]

Bài này tôi đưa về một bất đẳng thức lượng giác góc tam giác .
Mong rằng các bạn góp thêm cách giải khác .

[hoaadc08]

Một cách giải :
Dùng định lý hàm COS , biến đổi tương đương BĐT đã cho về BĐT : cosA + cosB + cosC <= 3/2

[phuc_90]

Cho $a , b , c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác . Chứng minh :

$\sum a\left ( \frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\leq 3+\sum \frac{a^{2}}{bc}$

 

Nhân $abc$ cho 2 vế thì bất đẳng thức trở thành

 

$a^3+b^3+c^3+3abc \geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$

 

Theo bất đẳng thức Cô-si thì

 

$ab(a+b) \leq \frac{1}{2}\left( \frac{ab(a+b)(a+c)}{b+c}+\frac{ab(a+b)(b+c)}{a+c}\right)$

 

$bc(b+c) \leq \frac{1}{2}\left( \frac{bc(b+c)(b+a)}{c+a}+\frac{bc(b+c)(c+a)}{b+a}\right)$

 

$ca(c+a) \leq \frac{1}{2}\left( \frac{ca(c+a)(c+b)}{a+b}+\frac{ca(c+a)(a+b)}{c+b}\right)$

 

Suy ra

 

$\sum ab(a+b) \leq \frac{1}{2}\sum\left(\frac{ab(a+b)(a+c)}{b+c}+\frac{ca(c+a)(a+b)}{c+b} \right)$

 

$=\frac{1}{2} \sum\left(a(a+b)(a+c) \right)$

 

$=\frac{1}{2}\left(a^3+b^3+c^3+3abc+\sum ab(a+b) \right)$

hay

 

$a^3+b^3+c^3+3abc \geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$