Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$f(x^{2}+y+f(y))=(f(x))^{2}+2y\forall x,y\in \mathbb{R}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 habayern

habayern

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 189 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 09-11-2014 - 21:02

Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa:

$f(x^{2}+y+f(y))=(f(x))^{2}+2y\forall x,y\in \mathbb{R}$



#2 cachuoi

cachuoi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:hà nội
  • Sở thích:chả khoái gì

Đã gửi 10-11-2014 - 23:50

dễ thấy f là toàn ánh nến tồn tại t sao cho f(t)=0 
đặt f(0)=a 
thay y=t x=0 vào bài ta đc a^2 +2t=0 từ đây dễ thấy ngay được f(x)==0 khi và chỉ khi x=t
tiếp tục thay x suy ra f(t^2 +a)=0 suy ra ngay t^2+a=t
vậy ta được hệ phương trình 2 ẩn a và t

giải ra ta được một nghiệm đẹp và 1 nghiệm xấu là t=0 và t=-.....
có thể tự giải tiếp , muộn quá a chưa nghĩ ra tiếp đc ;v
 



#3 cachuoi

cachuoi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:hà nội
  • Sở thích:chả khoái gì

Đã gửi 11-11-2014 - 00:10

viết nốt đoạn f(0)=0
cho y=0 ta có ngay f(x^2)=f(x)^2 suy ra f(x)>=0 với mọi x>=0 chú ý từ đây dễ dàng suy ra f là hàm lẻ
thay y bởi -x^2 vào bài ta có ngay f(f(-x^2)=f(x^2)-2.x^2 sử dụng tính chất hàm lẻ thì có ngay f(f(x^2)+f(x^2)=2.x^2 tương tự thì cũng có f(f(-x^2))+f(-x^2)=-2.x^2
vậy ta có với mọi x thuộc R thì f(f(x)+f(x)=2x đến đây dùng dãy số thì có ngay f(x)=x với mọi x thuộc R 
còn 1 trường hợp số rất xấu kia thì cụ thể là a và t đều là số âm nên thay x ằng căng (-a) vào y=0 là suy ra vô lý ngay


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cachuoi: 11-11-2014 - 12:23





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh