Đến nội dung

Hình ảnh

Giải phương trình nghiệm nguyên:$x^2+x=y^4+y^3+y^2+y$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Su Si

Su Si

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết

 Giải phương trình nghiệm nguyên:$x^2+x=y^4+y^3+y^2+y$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 09-11-2014 - 22:37


#2
bach7a5018

bach7a5018

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 164 Bài viết

giải phương trình nghiêm nguyên x2 + x = y+ y3 + y2 + y          (1)

Ta có: $\left( 1 \right) \Leftrightarrow 4x^2  + 4x = 4y^4  + 4y^3  + 4y^2  + 4y \Leftrightarrow 4x^2  + 4x + 1 = \left( {4y^4  + 4y^3  + y^2 } \right) + \left( {3y^2  + 4y + 1} \right) \Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right)^2  = \left( {2y^2  + y} \right)^2  + \left( {y + 1} \right)\left( {3y + 1} \right)$        (2)

- Xét y = -1. Ta có: $\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right)^2  = 1$ Suy ra x = 0 hoặc x = -1
- Xét $y \ne  - 1$. Ta thấy $\left( {y + 1} \right)\left( {3y + 1} \right) > 0$. Thật vậy:
  + Nếu $y<-1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y+1<0\\ 3y+1<0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left ( y+1 \right )\left ( 3y+1 \right )>0$
  + Nếu $y>-1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y+1>0\\ 3y+1>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left ( y+1 \right )\left ( 3y+1 \right )>0$
Từ đó, ta có: $\left( {2y^2  + y} \right)^2  < \left( {2x + 1} \right)^2  \Leftrightarrow \left( {2y^2  + y + 1} \right)^2  \le \left( {2x + 1} \right)^2  \Leftrightarrow 4y^4  + 4y^3  + 5y^2  + 2y + 1 \le 4y^4  + 4y^3  + 4y^2  + 4y + 1 \Leftrightarrow y^2  - 2y \le 0 \Leftrightarrow y\left( {y - 2} \right) \le 0 \Leftrightarrow 0 \le y \le 2$
 Lần lượt thay y = 0; 1; 2 vào (1) ta thu được các cặp nghiệm:
 (x; y) = (0; 0); (0; -1); (-1; 0); (-1; -1); (5; 2); (-6; 2)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bach7a5018: 09-11-2014 - 22:53


#3
bach7a5018

bach7a5018

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 164 Bài viết

 Giải phương trình nghiệm nguyên:$x^2+x=y^4+y^3+y^2+y$        (1)

Bạn có thể tham khảo thêm cách 2 sau đây:

Ta có: $\left( 1 \right) \Leftrightarrow 4x^2 + 4x + 1 = 4y^4 + 4y^3 + 4y^2 + 4y + 1 \Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right)^2 = \left( {2y^2 + y} \right)^2 + \left( {3y^2 + 4y + 1} \right)$

Ta cần tìm y để phương trình $\left( {2y^2  + y} \right)^2  < \left( {2x + 1} \right)^2  < \left( {2y^2  + y + 1} \right)^2 $ có nghiệm

Ta có:    $\left\{\begin{matrix} \left ( 2x+1 \right )^{2}-\left ( 2y^{2}+y \right )^{2}>0\\ \left ( 2y^{2}+y+1 \right )^{2}-\left ( 2x+1 \right )^{2}>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4y^4 + 4y^3 + 4y^2 + 4y + 1-4y^{4}-4y^{3}-y^{2}>0\\ 4y^4 + 4y^3 + 5y^2 + 2y + 1-4y^{4}-4y^{3}-4y^{2}-1>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x^{2}+4x+1>0\\ x^{2}-2x>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left ( x+1 \right )\left ( 3x+1 \right )>0\\ x\left (x-2 \right )>0 \end{matrix}\right.$
 Suy ra y < -1 hoặc y > 2. Vậy với y < -1 hoặc y > 2 thì (2x+1)2 nằm giữa 2 số chính phương liên tiếp   ( vô lí )
Vậy  $- 1 \le y \le 2 \Rightarrow y \in \left\{ { - 1;0;1;2} \right\}$
Lần lượt thay y vào phương trình (1) ta thu được các cặp nghiệm
(x; y) = (0; 0); (0; -1); (-1; 0); (-1; -1); (5; 2); (-6; 2)


#4
Su Si

Su Si

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết

em cảm ơn nhé






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh