Chủ đề này có 7 trả lời

[hoaadc08]

Cho a , b , c là các số dương . CMR : 

$\sum \frac{a}{b+c\sqrt{2}}\geq \frac{3}{1+\sqrt{2}}$

[hoaadc08]

Bài này tôi dùng BĐT B-C-S . Các bạn cho thêm lời giải dùng bđt Cô-si giúp .

[phuc_90]

Cho a , b , c là các số dương . CMR : 

$\sum \frac{a}{b+c\sqrt{2}}\geq \frac{3}{1+\sqrt{2}}$

 

Chuẩn hóa $a+b+c=3$

 

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có

 

$\frac{a}{b+c\sqrt{2}}+\frac{a\left(b+c\sqrt{2}\right)}{\left(1+\sqrt{2}\right)^2} \geq \frac{2a}{1+\sqrt{2}}$

 

$\frac{b}{c+a\sqrt{2}}+\frac{b\left(c+a\sqrt{2}\right)}{\left(1+\sqrt{2}\right)^2} \geq \frac{2b}{1+\sqrt{2}}$

 

$\frac{c}{a+b\sqrt{2}}+\frac{c\left(a+b\sqrt{2}\right)}{\left(1+\sqrt{2}\right)^2} \geq \frac{2c}{1+\sqrt{2}}$

 

Suy ra

 

$\frac{a}{b+c\sqrt{2}}+\frac{b}{c+a\sqrt{2}}+\frac{c}{a+b\sqrt{2}} \geq \frac{2(a+b+c)}{1+\sqrt{2}}-\frac{ab+bc+ca}{1+\sqrt{2}} \geq \frac{3}{1+\sqrt{2}}$

 

Do  $9=(a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca)$

[hoaadc08]

Chuẩn hóa $a+b+c=3$
Giả thiết không có cho a + b + c = 3 , bạn ạ !
 
Theo bất đẳng thức Cô-si ta có
 

$\frac{a}{b+c\sqrt{2}}+\frac{a\left(b+c\sqrt{2}\right)}{\left(1+\sqrt{2}\right)^2} \geq \frac{2a}{1+\sqrt{2}}$

 

$\frac{b}{c+a\sqrt{2}}+\frac{b\left(c+a\sqrt{2}\right)}{\left(1+\sqrt{2}\right)^2} \geq \frac{2b}{1+\sqrt{2}}$

 

$\frac{c}{a+b\sqrt{2}}+\frac{c\left(a+b\sqrt{2}\right)}{\left(1+\sqrt{2}\right)^2} \geq \frac{2c}{1+\sqrt{2}}$

 

Suy ra

$\frac{a}{b+c\sqrt{2}}+\frac{b}{c+a\sqrt{2}}+\frac{c}{a+b\sqrt{2}} \geq \frac{2(a+b+c)}{1+\sqrt{2}}-\frac{ab+bc+ca}{1+\sqrt{2}} \geq \frac{3}{1+\sqrt{2}}$

 

Do  $9=(a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca)$

[phuc_90]

Đặt $x=\frac{3a}{a+b+c}$  ,  $y=\frac{3b}{a+b+c}$  ,  $z=\frac{3c}{a+b+c}$  khi đó $x+y+z=3$

 

Ta có :    $\sum \frac{a}{b+c\sqrt{2}} = \sum \frac{\frac{3a}{a+b+c}}{\frac{3b}{a+b+c}+\frac{3c\sqrt{2}}{a+b+c}} = \sum\frac{x}{y+z\sqrt{2}}$

 

Như vậy ta chuyển đổi bài toán trên về bài toán

 

Với $x,y,z$ là các số thực dương thỏa $x+y+z=3$ thì bất đẳng thức sau luôn đúng

 

$\sum\frac{x}{y+z\sqrt{2}} \geq \frac{3}{1+\sqrt{2}}$

 

Do đó ta có thể giả sử thêm điều kiện $a+b+c=3$

[phuc_90]

Tham khảo sách Sáng Tạo Bất Đẳng Thức Vol 1 của Phạm Kim Hùng để hiểu thêm các cách đặt thêm điều kiện cho bất đẳng thức    hoaadc08

[hoaadc08]

Còn cách nào khác không , bạn Phuc _90 ?
Tôi nghĩ mãi dùng CAUCHY không chuẩn hóa !
Bạn có thể giải giúp một bài BĐT liên quan cạnh tam giác tôi đã post trong topic này ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoaadc08: 10-11-2014 - 13:30

[huykinhcan99]

\begin{equation} \label{eq:1} \tag{1} \dfrac{a}{b+c\sqrt{2}}+\dfrac{b}{c+a\sqrt{2}}+\dfrac{c}{a+b\sqrt{2}}\geqslant \dfrac{3}{1+\sqrt{2}} \end{equation}

 

Đặt \begin{equation} \label{eq:0} \tag{2} \left\{\begin{matrix} b+c\sqrt{2}=x \\ c+a\sqrt{2}=y \\ a+b\sqrt{2}=z \end{matrix}\right. \ \ (x,y,z\geqslant 0) \end{equation}

 

Ta có: $2x\sqrt{2}+y\sqrt{2}-2z=2b\sqrt{2}+4c+c\sqrt{2}+2a-2a-2b\sqrt{2}=\left(4+\sqrt{2}\right)c$

\begin{equation} \label{eq:2} \tag{3} \Rightarrow c=\dfrac{2x\sqrt{2}+y\sqrt{2}-2z}{4+\sqrt{2}} \end{equation}

 

Tương tự, ta cũng có:

\begin{eqnarray} \label{eq:3} \tag{4} a &=& \dfrac{2y\sqrt{2}+z\sqrt{2}-2x}{4+\sqrt{2}} \\ \label{eq:4} \tag{5} b &=& \dfrac{2z\sqrt{2}+x\sqrt{2}-2y}{4+\sqrt{2}} \end{eqnarray}

 

Thế \eqref{eq:0}, \eqref{eq:2}, \eqref{eq:3}, \eqref{eq:4} vào \eqref{eq:1} ta thu được:

\begin{eqnarray} &\phantom{\Leftrightarrow} & \dfrac{2y\sqrt{2}+z\sqrt{2}-2x}{\left(4+\sqrt{2}\right)x}+\dfrac{2z\sqrt{2}+x\sqrt{2}-2y}{\left(4+\sqrt{2}\right)y}+\dfrac{2x\sqrt{2}+y\sqrt{2}-2z}{\left(4+\sqrt{2}\right)z}\geqslant \dfrac{3}{1+\sqrt{2}}\nonumber \\ &\Leftrightarrow & 2\sqrt{2}\left(\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{x}{z}\right)+\sqrt{2}\left(\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}\right)-6\geqslant \dfrac{3\left(4+\sqrt{2}\right)}{1+\sqrt{2}}=\dfrac{3\left(4+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2}-1\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^2-1}=9\sqrt{2}-6 \nonumber \\ \label{eq:5}\tag{6} &\Leftrightarrow & 2\sqrt{2}\left(\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{x}{z}\right)+\sqrt{2}\left(\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}\right)\geqslant 9\sqrt{2} \end{eqnarray}

 

Lần lượt áp dụng bất đẳng thức $AM - GM$ cho ba số $\dfrac{y}{x}$, $\dfrac{z}{y}$, $\dfrac{x}{z}$ và ba số $\dfrac{z}{x}$, $\dfrac{x}{y}$, $\dfrac{y}{z}$ (đều không âm) ta có:

\begin{eqnarray} 2\sqrt{2}\left(\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{x}{z}\right)\geqslant 2\sqrt{2}.3\sqrt[3]{\dfrac{yzx}{xyz}}=6\sqrt{2} \nonumber \\ \sqrt{2}\left(\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}\right)\geqslant \sqrt{2}.3\sqrt[3]{\dfrac{zxy}{xyz}}=3\sqrt{2}\nonumber \end{eqnarray}

Cộng hai bất đẳng thức trên ta thu được \eqref{eq:5}. Từ đó ta có điều phải chứng minh. $_\square$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z \Rightarrow a=b=c$