Cho các số thực dương a,b,c TM a+b+c=6.Tìm MIN S=$\frac{\sqrt{a^2+ab+b^2}}{bc+4}+\frac{\sqrt{b^2+bc+c^2}}{ca+4}+\frac{\sqrt{c^2+ac+a^2}}{ab+4}$
Tìm MIN S=$\frac{\sqrt{a^2+ab+b^2}}{bc+4}+\frac{\sqrt{b^2+bc+c^2}}{ca+4}+\frac{\sqrt{c^2+ac+a^2}}{ab+4}$
Bắt đầu bởi Xuan Hung HQH, 10-11-2014 - 22:16
#2
Đã gửi 20-04-2021 - 19:43
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Ta có: $S=\sum_{cyc}\frac{\sqrt{a^2+ab+b^2}}{bc+4}=\sum_{cyc}\frac{\sqrt{\frac{3}{4}(a+b)^2+\frac{1}{4}(a-b)^2}}{bc+4}\geqslant\sum_{cyc}\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}(a+b)}{\frac{(b+c)^2}{4}+4}=\sum_{cyc}\frac{2\sqrt{3}(a+b)}{(b+c)^2+16}$
Đặt $(a+b,b+c,c+a)\rightarrow (x,y,z)$ thì $x,y,z>0$ và $x+y+z=2(a+b+c)=12$
Khi đó: $S=\frac{2\sqrt{3}x}{y^2+16}+\frac{2\sqrt{3}y}{z^2+16}+\frac{2\sqrt{3}z}{x^2+16}=\frac{\sqrt{3}}{8}(\frac{16x}{y^2+16}+\frac{16y}{z^2+16}+\frac{16z}{x^2+16})=\frac{\sqrt{3}}{8}\sum_{cyc}(x-\frac{xy^2}{y^2+16})\geqslant \frac{\sqrt{3}}{8}\sum_{cyc}(x-\frac{xy^2}{8y})=\frac{\sqrt{3}}{8}(x+y+z-\frac{xy+yz+zx}{8})\geqslant\frac{\sqrt{3}}{8}(x+y+z-\frac{(x+y+z)^2}{24})=\frac{3\sqrt{3}}{4}$
Vậy $MinS=\frac{3\sqrt{3}}{4}$, đạt được khi $a=b=c=2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 20-04-2021 - 19:45
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
