Chủ đề này có 3 trả lời

[zzhanamjchjzz]

Cho  a,b,c dương .CMR:

 $\frac{a^2+bc}{(b+c)^2}+\frac{b^2+ca}{(c+a)^2}+\frac{c^2+ab}{(a+b)^2} \geq \frac{3}{2}$

[dogsteven]

$$(BDT)\Leftrightarrow \sum \dfrac{3a^2-a^2-b^2-c^2}{(a+b+c-a)^2} \geqslant 0$$

 

Giả sử $a \geqslant b \geqslant c$, áp dụng bất đẳng thức Chebyshev một hit là ra.

[dogsteven]

Cách khác dài hơn:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

$$\sum \dfrac{a^2+bc}{(b+c)^2} \geqslant \dfrac{(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)^2}{\sum (a^2+bc)(b+c)^2}$$

Ta cần chứng minh:

$$2(a^4+b^4+c^4)+a^3b+b^3c+c^3a+ab^3+bc^3+ca^3+2abc(a+b+c) \geqslant 6(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$$

Áp dụng bất đẳng thức Schur bậc 4: $a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c) \geqslant ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2)$

Vì vậy mà ta chỉ cần chứng minh: $a^3b+b^3c+c^3a+ab^3+bc^3+ca^3 \geqslant 2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2$

Theo bất đẳng thức AM-GM và Cauchy-Schwarz:

$$a^3b+b^3c+c^3a+ab^3+bc^3+ca^3 \geqslant 2\sqrt{(a^3b+b^3c+c^3a)(ab^3+bc^3+ca^3)} \geqslant 2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2$$

 

Hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 12-11-2014 - 09:56

[Chung Anh]

Cách khác dài hơn:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

$$\sum \dfrac{a^2+bc}{(b+c)^2} \geqslant \dfrac{(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)^2}{\sum (a^2+bc)(b+c)^2}$$

Ta cần chứng minh:

$$2(a^4+b^4+c^4)+a^3b+b^3c+c^3a+ab^3+bc^3+ca^3+2abc(a+b+c) \geqslant 6(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$$

Áp dụng bất đẳng thức Schur bậc 4: $a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c) \geqslant ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2)$

Vì vậy mà ta chỉ cần chứng minh: $a^3b+b^3c+c^3a+ab^3+bc^3+ca^3 \geqslant 2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2$

Theo bất đẳng thức AM-GM và Cauchy-Schwarz:

$$a^3b+b^3c+c^3a+ab^3+bc^3+ca^3 \geqslant 2\sqrt{(a^3b+b^3c+c^3a)(ab^3+bc^3+ca^3)} \geqslant 2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2$$

 

Hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$

Còn cách nào đơn giản hơn ko,em còn chưa quen Schur,Chebyshev