Chủ đề này có 2 trả lời

[snowwhite]

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho $ \frac{1}{2} $ số đó là số chính phương, $ \frac{1}{3} $ số đó là lũy thừa 3 của một số tự nhiên, $ \frac{1}{5} $ số đó là lũy thừa 5 của một số tự nhiên.

[PT42]

Gọi A là số phải tìm ($A \neq 0$) thì $A = 2a^{2} = 3b^3 = 5c^{5}$ với a, b, c nguyên dương.

Vì $2a^{2} = 3b^{3}$ nên $\left\{\begin{matrix} a \vdots 3\\b\vdots 2 \end{matrix}\right.$

Đặt $\left\{\begin{matrix} a = 3a_{1}\\ b = 2b_{1} \end{matrix}\right. (a_{1}, b_{1} \varepsilon \mathbb{N})$ $\Rightarrow 2. 9a_{1}^{2} = 3. 8b_{1}^{3} \Rightarrow 3a_{1}^{2} = 4b_{1}^{3} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} a_{1}\vdots 2\\b_{1}\vdots 3 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a_{1} = 2a_{2}\\ b_{1} = 3b_{2} \end{matrix}\right.(a_{2}, b_{2} \epsilon \mathbb{N})$

$\Rightarrow 3. 4a_{2}^{2} = 4. 27b_{2}^{3} \Rightarrow a_{2}^{2} = 9b_{2}^{3} \Rightarrow a_{2}^{2}\vdots (3b_{2})^{2} \Rightarrow a_{2} \vdots (3b_{2})$

 

Đặt $a_{2} = k. 3b_{2} (k \varepsilon \mathbb{N} ) \Rightarrow a_{2}^{2} = k^{2}. 9b_{2}^{2} = 9b_{2}^{3} \Rightarrow b_{2} = k^{2} $

 

$\Rightarrow a_{2} = 3b_{2}. k = 3k^{3} \Rightarrow a = 3a_{1} = 6a_{2} = 18k^{3}$

$\Rightarrow A = 2a^{2} = 648k^{6}$

 

Ta có $A = 648k^{6} = 2^{3}. 3^{4}. k^{6} = 5c^{5} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} k \vdots 5\\c\vdots 2 \\ c\vdots 3 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} k = 5k_{1}\\ c = 6c_{1} \end{matrix}\right. (k_{1}, c_{1} \epsilon \mathbb{N})$

 

$\Rightarrow 2^{3}. 3^{4}. 5^{6}. k_{1}^{6} = 5. 2^{5}. 3^{5}. c_{1}^{5} \Rightarrow 5^{5}. k_{1}^{6} = 2^{2}. 3. c_{1}^{5}$

 

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} k_{1}\vdots 2\\ k_{1}\vdots 3 \\c_{1} \vdots 5 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} k_{1} = 6k_{2}\\ c_{1} = 5c_{2} \end{matrix}\right.(k_{2}, c_{2} \epsilon \mathbb{N})\Rightarrow 5^{5}. 2^{6}. 3^{6}k_{2}^{6} = 2^{2} . 3. 5^{5}. c_{2}^{5} $

 

$\Rightarrow 2^{4}. 3^{5}. k_{2}^{6} = c_{2}^{5}$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} c_{2}\vdots 2\\c_{2}\vdots 3 \end{matrix}\right. \Rightarrow c_{2} = 6c_{3} (c_{3} \epsilon \mathbb{N}) \Rightarrow 2^{4}. 3^{5}.k_{2}^{6} = 2^{5}. 3^{5} c_{3}^{5} \Rightarrow k_{2}^{6} = 2. c_{3}^{5}$

$\Rightarrow k_{2}\vdots 2 \Rightarrow k_{2} = 2k_{3} (k_{3} \epsilon \mathbb{N}) $

 

$\Rightarrow 2^{6}k_{3}^{6} = 2c_{3}^{5} \Rightarrow c_{3}^{5} = 2^{5}. k_{3}^{6} = (2k_{3})^{5}. k_{3} \Rightarrow c_{3}^{5} \vdots (2k_{3})^{5} \Rightarrow c_{3} \vdots (2k_{3}) $

$\Rightarrow c_{3} = 2k_{3}. t (t \epsilon \mathbb{N}) \Rightarrow (2k_{3})^{5}. t^{5} = (2k_{3})^{5}. k_{3} \Rightarrow k_{3} = t^{5}$

 

$\Rightarrow k = 5k_{1} = 5.6k_{2} = 60k_{3} = 60t^{5}$ = $2^{2}. 3 . 5t^{5}$

 

$\Rightarrow A = 648 k^{6} = 2^{3}. 3^{4}. 2^{12}. 3^{6}. 5^{6}. t^{30} = 2^{15}. 3^{10}. 5^{6}. t^{30}$

 

$\Rightarrow$ Số A nhỏ nhất thỏa mãn là $2^{15}. 3^{10}. 5^{6}$ (t = 1)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PT42: 14-11-2014 - 11:45

[PT42]

Cách 2 :

Dễ thấy số phải tìm chia hết cho 2, 3, 5 nên có dạng $A = 2^{a}. 3^{b}. 5^{c}. k^{30}$ với a, b, c nguyên dương (vì 30 là bội chung nhỏ nhất của 2, 3, 5). Vì A nhỏ nhất nên k = 1 và a, b, c $\leq$ 30

Từ giả thiết suy ra $\left\{\begin{matrix} a - 1 \vdots 2\\a\vdots 3 \\ a\vdots 5 \end{matrix}\right.$ 

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a = 2x + 1\\a = 15y \end{matrix}\right. (x, y \epsilon \mathbb{N}) \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 15a = 30x + 15\\ 14a = 7. 30y \end{matrix}\right.\Rightarrow a = 30(x - 7y) + 15 \Rightarrow a = 15$

 

Cũng từ giả thiết có $\left\{\begin{matrix} b\vdots 2\\b - 1\vdots 3 \\ b\vdots 5 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} b = 10z\\b = 3t + 1 \end{matrix}\right. (z, t \epsilon \mathbb{N}) \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 9b = 3. 30z\\10b = 30t + 10 \end{matrix}\right. \Rightarrow b = 30. (t - 3z) + 10 \Rightarrow b = 10$

 

Ta cũng có $\left\{\begin{matrix} c\vdots 2\\c\vdots 3 \\ c - 1\vdots 5 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} c = 6m\\c = 5n + 1 \end{matrix}\right. (m, n \epsilon \mathbb{N})\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 5c = 30m\\ 6c = 30n + 6 \end{matrix}\right.\Rightarrow c = 30. (n - m) + 6 \Rightarrow c = 6$

 Vậy $A = 2^{15}. 3^{10}. 5^{6}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PT42: 14-11-2014 - 11:55