Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\sum_{1995}^{2000}a_{k}^{2}$ không chia hết cho 20


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 trungdung97

trungdung97

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 181 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K46 THPT chuyên ĐH Vinh

Đã gửi 13-11-2014 - 14:15

$a_{0}=1,a_{1}=3$ $\left\{\begin{matrix} a_{n+2}=a_{n+1}+9a_{n} nếu n chẵn& \\ a_{n+2}=a_{n+1}+5a_{n} nếu n lẻ \end{matrix}\right.$ nếu n lẻ.CmR 1)$\sum_{1995}^{2000}a_{k}^{2}$ không chia hết cho 20 .2)$a_{2n+1}$ không chính phương


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trungdung97: 13-11-2014 - 14:16


#2 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 06-08-2015 - 20:54

$a_{0}=1,a_{1}=3$ $\left\{\begin{matrix} a_{n+2}=a_{n+1}+9a_{n} nếu n chẵn& \\ a_{n+2}=a_{n+1}+5a_{n} nếu n lẻ \end{matrix}\right.$ nếu n lẻ.CmR 1)$\sum_{1995}^{2000}a_{k}^{2}$ không chia hết cho 20 .2)$a_{2n+1}$ không chính phương

a,  Với mỗi số tự nhiên $n$, ta gọi $b_n$ và $c_n$ tương ứng là phân dư trong phép chia $a_n$ cho $4$ và $5$.

Khi đó : $0\leq b_n\leq 3$ và $0\leq c_n\leq 4,\forall n=0,1,2,...$

Vì $a_0=1;a_1=3$ nên ta có :

$b_0=1;b_1=3;c_0=1;c_1=3$

Do $a_{n+1}+9a_n=a_{n+1}+a_n+8a_n$ và $8a_n\vdots 4$ ( vì $a_n$ nguyên )

Lại có : $9a_{n+1}+5a_n=8a_{n+1}+4a_n+a_{n+1}+a_n$ và $8a_{n+1}+4a_n\vdots 4$

Nên kết hợp lại ta được : 

$a_{n+2}\equiv a_{n+1}+a_n$ (mod $4$) . Hay từ đó ta có : 

$b_{n+2}\equiv b_{n+1}+b_n$ (mod $4$) , $\forall n=0,1,2,...(1)$

Mặt khác : $a_{n+1}+9a_n=a_{n+1}-a_n+10a_n$ và do $10a_n\vdots 5$ nên suy ra :

$a_{n+1}+9a_n\equiv a_{n+1}-a_n$ (mod $5$)

Lại thấy $9a_{n+1}-5a_n=10a_{n+1}+5a_n-a_{n+1}$ suy ra : 

$9a_{n+1}-5a_n\equiv -a_{n+1}$ (mod $5$)

Từ đó ta có : 

$c_{n+2}\equiv \left\{\begin{matrix} (c_{n+1}+c_n)(mod5),\forall n=2m \\ (-c_{n+1})(mod5),\forall n=2m+1 \end{matrix}\right.,\forall m=0,1,2,...$ (2)

Từ $b_0=1,b_1=3$ và $(1)$ suy ra $b_2=0,b_3=3,b_4=3,b_5=2,b_6=1,b_7=3,...$ , nghĩa là ta có : 

$b_k=b_{k+6t},\forall k,t\in N$

Tương tự $c_k=c_{k+8t},\forall t\in N,k\geq 2$

Do $1995=3+6.322=3+8.249$ và $1996=4+6.322=4+8.249$ nên suy ra : 

$b_{1995}=b_3=3,b_{1996}=b_4=3$

$c_{1995}=c_3=3,c_{1996}=c_4=1$

Áp dụng $(1),(2)$ suy ra : 

$b_{1997}=2,b_{1998}=1,b_{1999}=3,b_{2000}=0$

$c_{1997}=4,c_{1998}=3,c_{1999}=2,c_{2000}=4$

Do $a_n\equiv b_n$ (mod $4$) và $a_n\equiv c_n$ (mod $5$) nên suy ra :

$\sum_{k=1995}^{2000}a_k^2\equiv \sum_{k=1995}^{2000}b_k^2\equiv 0$ (mod $4$)

$\sum_{k=1995}^{2000}a_k^2\equiv \sum_{k=1995}^{2000}c_k^2\equiv 0$ (mod $5$)

Vậy suy ra $\sum_{k=1995}^{2000}a_k^2$ chia hết cho $4$ và $5$ . Hay suy ra ĐPCM



#3 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 06-08-2015 - 21:00

$a_{0}=1,a_{1}=3$ $\left\{\begin{matrix} a_{n+2}=a_{n+1}+9a_{n} nếu n chẵn& \\ a_{n+2}=a_{n+1}+5a_{n} nếu n lẻ \end{matrix}\right.$ nếu n lẻ.CmR 1)$\sum_{1995}^{2000}a_{k}^{2}$ không chia hết cho 20 .2)$a_{2n+1}$ không chính phương

b, Ta thấy mọi số lẻ có dạng $2n+1$, hoặc $6k+1$ hoặc $6k+3$, hoặc $6k+5$.

Theo trên ta có $b_1=3,b_3=3,b_5=2$ và do $b_k=b_{k+6t}$ nên suy ra 

$b_{6k+1}=3,b_{6k+3}=3,b_{6k+5}=2$ .

Từ đó với mọi $n$ thì : 

$a_{2n+1}\equiv 3$ (mod $4$) hoặc $a_{2n+1}\equiv 2$ (mod $4$) (3)

Nếu $\alpha$ là số chính phương thì chỉ có thể $\alpha\equiv 0$ (mod $4$) hoặc $\alpha\equiv 1$ (mod $4$) 

Vậy từ (3) suy ra $\forall n\in N$ thì $a_{2n+1}$ không phải là số chính phương .

Nên ĐPCM 






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh