Chủ đề này có 1 trả lời

[reyesmovie]

Giả sử $x_{0}>0$ tuỳ ý, $x_{n+1}=\frac{1}{3}(2x_{n}+\frac{a}{(x_{n})^{2}})$ (n=0,1,2,...)

Chứng minh rằng giới hạn $\lim_{n->0}x$, tồn tại và bằng $\sqrt[3]{a}$

[CaolacVC]

Không biết là đúng hay sai nhưng đây là cách làm của mình.

Trước hết mình thấy $x_{0}>a$ tùy ý có vẻ hợp lý hơn. Nếu $x_{0}>0$ tùy ý thì mình chịu, không làm được.

 

Giả sử mình sửa lại đề là $x_{0}>a$ tùy ý. (Đây chỉ là ý kiến chủ quan của mình)

Khi đó ta chứng minh $x_{n}>\sqrt[3]{a}$ mọi n thuộc N

 

+ Chứng minh sự tồn tại của giới hạn

 

Dùng quy nạp:

$x_{0}>\sqrt[3]{a}$ đúng

Ta giả sử $x_{n}>\sqrt[3]{a}$ mọi n thuộc N

Khi đó $x_{n+1}=\frac{1}{3}(2x_{n}+\frac{a}{x_{n}^2})>\sqrt[3]{a}$ cũng đúng

Thật vậy

$\frac{1}{3}(2x_{n}+\frac{a}{x_{n}^2})>\sqrt[3]{a}$

$\Leftrightarrow$ $\frac{1}{3}(2x_{n}+\frac{a}{x_{n}^2})-\sqrt[3]{a}>0$

$\Leftrightarrow$ $(x_{n}-\sqrt[3]{a})^2(x_{n}+\frac{1}{2}\sqrt[3]{a})>0$ đúng với mọi $x_{n}>\sqrt[3]{a}$ trong đó n thuộc N

 

Do vậy nên $x_{n}>\sqrt[3]{a}$ với mọi n thuộc N, hay nói cách khác dãy $x_{n}$ là một dãy bị chặn dưới bởi $\sqrt[3]{a}$

 

Mặt khác:

$x_{n+1}-x_{n}=\frac{1}{3}(2x_{n}+\frac{a}{x_{n}^2})-x_{n}=\frac{1}{3}(\frac{a-x_{n}^3}{x_{n}^2})<0$ Vì $x_{n}>\sqrt[3]{a}$ mọi n thuộc N

Hay $x_{n}$ là một dãy giảm.

 

Một dãy giảm bị chặn dưới nên hội tụ.

 

+ Tìm giới hạn

 

Giả sử $\lim_{n\rightarrow \infty}{x_{n}}=L$

Khi đó $L=\frac{1}{3}(2L+\frac{a}{L})$

Giải phương trình ra ta được $L=\sqrt[3]{a}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CaolacVC: 16-11-2014 - 16:47