Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=2013$. Chứng minh: $\frac{a}{a+\sqrt{2013a+bc}}+\frac{b}{b+\sqrt{2013b+ca}}+\frac{c}{c+\sqrt{2013c+ab}}\leq1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi S dragon: 15-11-2014 - 15:49
$\frac{a}{a+\sqrt{2013a+bc}}+\frac{b}{b+\sqrt{2013b+ca}}+\frac{c}{c+\sqrt{2013c+ab}}$
Bắt đầu bởi S dragon, 15-11-2014 - 11:42
#1
Đã gửi 15-11-2014 - 11:42
S dragon
-
- Thành viên
-
- 69 Bài viết
Hạ sĩ
Sống thì phải nỗ lực. Có nỗ lực mới thành công.
#2
Đã gửi 15-11-2014 - 13:39
Mikhail Leptchinski
-
- Thành viên
-
- 703 Bài viết
Thiếu úy
Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=2013$. Chứng minh: $A=\frac{a}{a+\sqrt{2013a+bc}}+\frac{b}{b+\sqrt{2013b+ca}}+\frac{c}{c+\sqrt{2013c+ab}}$
Ta có:$\sqrt{2013a+bc}=\sqrt{a^2+ab+ac+bc}=\sqrt{(a+c)(a+b)}$
Tương tự có:$A=\sum \frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}$
Áp dụng bất đẳng thức bunhia kovski có:
$\sqrt{(a+b)(a+c)}\geq \sqrt{ab}+\sqrt{ac}$
=>$\frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}$
Tương tự có:$A\leq \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1$
Dấu bằng xảy ra <=>$a=b=c=671$
_Đây là bài toán xử lí khá hay của Crux.Bài toán gốc chỉ có chứng minh biểu thức $A\leq 1$ nên từ giả thiết biến đổi về dạng bất đẳng thức này
Chính trị chỉ cho hiện tại,nhưng phương trình là mãi mãi
(Albert Einstein)Đường đi không khó vì ngăn sông cách núi,mà khó vì lòng người ngại núi e sông
Đừng xấu hổ khi không biết ,chỉ xấu hổ khi không học
Các bạn ủng hộ kỹ thuật tìm điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức nhé
Tại đây
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
