Chủ đề này có 6 trả lời

[minhhien2001]

$x, y, z \epsilon \mathbb{N} . x , y, z \geq 0 . CM\frac{x}{y}+ \frac{y}{z} + \frac{z}{x} \geq 3.$  tgeo cách lớp 8 nha

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhhien2001: 15-11-2014 - 14:18

[Phuong Thu Quoc]

$x, y, z \epsilon \mathbb{N} . x , y, z \geq 0 . CM\frac{x}{y}+ \frac{y}{z} + \frac{z}{x} \geq 3.$  tgeo cách lớp 8 nha

Lớp 8 học các hằng đẳng thức rồi đúng không?

Chứng minh đẳng thức $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=\frac{1}{2}\left ( a+b+c \right )\left ( \left ( a-b \right ) ^{2}+\left ( b-c \right )^{2}+\left ( c-a \right )^{2}\right )\geq 0$ - cái này đơn giản

Từ đó $a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq 3abc$

Vậy $\sqrt[3]{\frac{x}{y}}^{3}+\sqrt[3]{\frac{y}{z}}^{3}+\sqrt[3]{\frac{z}{x}}^{3}\geq 3.\sqrt[3]{\frac{x}{y}}.\sqrt[3]{\frac{y}{z}}.\sqrt[3]{\frac{z}{x}}=3$

[O0NgocDuy0O]

Lớp 8 học các hằng đẳng thức rồi đúng không?

Chứng minh đẳng thức $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=\frac{1}{2}\left ( a+b+c \right )\left ( \left ( a-b \right ) ^{2}+\left ( b-c \right )^{2}+\left ( c-a \right )^{2}\right )\geq 0$ - cái này đơn giản

Từ đó $a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq 3abc$

Vậy $\sqrt[3]{\frac{x}{y}}^{3}+\sqrt[3]{\frac{y}{z}}^{3}+\sqrt[3]{\frac{z}{x}}^{3}\geq 3.\sqrt[3]{\frac{x}{y}}.\sqrt[3]{\frac{y}{z}}.\sqrt[3]{\frac{z}{x}}=3$

Mình nghĩ dùng bđt AM-GM cũng được đúng không?

BĐT AM-GM cho bộ ba số dương a,b,c: $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}$

Áp dụng vào bài cho bộ ba số dương $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}$, ta có:

$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}}=3\sqrt[3]{1}=3$

Vậy có đpcm.

[hoanglong2k]

Mình nghĩ dùng bđt AM-GM cũng được đúng không?

BĐT AM-GM cho bộ ba số dương a,b,c: $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}$

Áp dụng vào bài cho bộ ba số dương $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}$, ta có:

$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}}=3\sqrt[3]{1}=3$

Vậy có đpcm.

ở trên bạn đó nhờ dung kt lớp 8 mà bạn AM-GM 3 số thì cấp 3 mới học cơ bạn, muốn dùng phải c/m (c/m ko khó )

[O0NgocDuy0O]

ở trên bạn đó nhờ dung kt lớp 8 mà bạn AM-GM 3 số thì cấp 3 mới học cơ bạn, muốn dùng phải c/m (c/m ko khó )

 

Tuy thế nhưng ở đây dạng bài là bất đẳng thức thì khi đã hỏi chắc chắn bạn ấy phải biết về 1 số bđt cơ bản. Không thể không biết bđt cô-si(AM-GM). Mà theo mình nhớ ở mục "Có thế em chưa biết" ở lớp 7 hay 6 gì đó thì SGK có giới thiệu sơ cho ta về bđt cô-si với 2 số a,b rồi bạn nhỉ? Còn điều có biết với 3 số hay không thì tùy vào việc mày mò bạn nhé.Trong toán chỉ có tìm hiểu mới biết thôi cho dù chưa học đi chăng nữa.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 19-11-2014 - 20:22

[dogsteven]

Với mọi $a,b,c>0$ và $abc=1$ ta luôn có $(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2 \ge 0\Leftrightarrow a+b+c\ge a+2\sqrt{bc}=\dfrac{(2\sqrt{bc}+1)(\sqrt{bc}-1)^2}{bc}+3 \geqslant 3$

 

Chọn $(a;b;c)=\left (\frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{x} \right)$ thì ta có điều phải chứng minh.

[hoanglong2k]

Tuy thế nhưng ở đây dạng bài là bất đẳng thức thì khi đã hỏi chắc chắn bạn ấy phải biết về 1 số bđt cơ bản. Không thể không biết bđt cô-si(AM-GM). Mà theo mình nhớ ở mục "Có thế em chưa biết" ở lớp 7 hay 6 gì đó thì SGK có giới thiệu sơ cho ta về bđt cô-si với 2 số a,b rồi bạn nhỉ? Còn điều có biết với 3 số hay không thì tùy vào việc mày mò bạn nhé.Trong toán chỉ có tìm hiểu mới biết thôi cho dù chưa học đi chăng nữa.

à thực ra là trong NCPT8 tập 2 có rồi bạn