cho a,b,c dương CMR:
$\frac{a}{\sqrt{7a^2+b^2+c^2}}+\frac{b}{\sqrt{a^2+7b^2+c^2}}+\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+7c^2}} \leq 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zzhanamjchjzz: 15-11-2014 - 17:21
cho a,b,c dương CMR:
$\frac{a}{\sqrt{7a^2+b^2+c^2}}+\frac{b}{\sqrt{a^2+7b^2+c^2}}+\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+7c^2}} \leq 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zzhanamjchjzz: 15-11-2014 - 17:21
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được:
$\frac{a}{\sqrt{7a^2+b^2+c^2}}=\frac{3a}{\sqrt{(7+1+1)(7a^2+b^2+c^2)}}\leqslant \frac{3a}{7a+b+c}$
Tương tự rồi cộng lại, ta được:
$\frac{a}{\sqrt{7a^2+b^2+c^2}}+\frac{b}{\sqrt{a^2+7b^2+c^2}}+\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+7c^2}}\leqslant \frac{3a}{7a+b+c}+\frac{3b}{7b+c+a}+\frac{3c}{7c+a+b}$
Ta cần chứng minh:
$\frac{a}{7a+b+c}+\frac{b}{7b+c+a}+\frac{c}{7c+a+b}\leqslant \frac{1}{3}$
Đặt $\left\{\begin{matrix}7a+b+c=x & \\ 7b+c+a=y & \\ 7c+a+b=z & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}a=\frac{8x-y-z}{54} & \\ b=\frac{8y-z-x}{54} & \\ c=\frac{8z-x-y}{54} & \end{matrix}\right.$
Ta quy về chứng minh:
$\frac{8x-y-z}{54x}+\frac{8y-z-x}{54y}+\frac{8z-x-y}{54z}\leqslant \frac{1}{3}$
Thật vậy, ta có:
$\frac{8x-y-z}{54x}+\frac{8y-z-x}{54y}+\frac{8z-x-y}{54z}=\frac{4}{9}-\frac{1}{54}(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z})\leqslant \frac{4}{9}-\frac{1}{54}(2+2+2)=\frac{1}{3}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh