Chủ đề này có 1 trả lời

[zzhanamjchjzz]

cho a,b,c dương CMR:

$\frac{a}{\sqrt{7a^2+b^2+c^2}}+\frac{b}{\sqrt{a^2+7b^2+c^2}}+\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+7c^2}} \leq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zzhanamjchjzz: 15-11-2014 - 17:21

[KietLW9]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được: 

$\frac{a}{\sqrt{7a^2+b^2+c^2}}=\frac{3a}{\sqrt{(7+1+1)(7a^2+b^2+c^2)}}\leqslant \frac{3a}{7a+b+c}$

Tương tự rồi cộng lại, ta được: 

$\frac{a}{\sqrt{7a^2+b^2+c^2}}+\frac{b}{\sqrt{a^2+7b^2+c^2}}+\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+7c^2}}\leqslant \frac{3a}{7a+b+c}+\frac{3b}{7b+c+a}+\frac{3c}{7c+a+b}$

Ta cần chứng minh:

$\frac{a}{7a+b+c}+\frac{b}{7b+c+a}+\frac{c}{7c+a+b}\leqslant \frac{1}{3}$

Đặt $\left\{\begin{matrix}7a+b+c=x & \\ 7b+c+a=y & \\ 7c+a+b=z & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}a=\frac{8x-y-z}{54} & \\ b=\frac{8y-z-x}{54} & \\ c=\frac{8z-x-y}{54} & \end{matrix}\right.$

Ta quy về chứng minh:

$\frac{8x-y-z}{54x}+\frac{8y-z-x}{54y}+\frac{8z-x-y}{54z}\leqslant \frac{1}{3}$

Thật vậy, ta có: 

$\frac{8x-y-z}{54x}+\frac{8y-z-x}{54y}+\frac{8z-x-y}{54z}=\frac{4}{9}-\frac{1}{54}(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z})\leqslant \frac{4}{9}-\frac{1}{54}(2+2+2)=\frac{1}{3}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$