Chủ đề này có 2 trả lời

[LifeOfLifex998]

Cho a,b,c > 0 với  $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3abc$ Tìm GTLN của:

P=$\sqrt{\frac{a}{8a^{2}+1}}+\sqrt{\frac{b}{8b^{2}+1}}+\sqrt{\frac{c}{8c^{2}+1}}$

[PolarBear154]

Cho a,b,c > 0 với  $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3abc$ Tìm GTLN của:

P=$\sqrt{\frac{a}{8a^{2}+1}}+\sqrt{\frac{b}{8b^{2}+1}}+\sqrt{\frac{c}{8c^{2}+1}}$

CM:

1.

$\frac{1}{3}\sum \sqrt{\frac{a}{8a^{2}+1}}\leq \frac{1}{2}\sum \left ( \frac{1}{7a+2}+\frac{1}{9} \right )$ (sử dụng $2ab \leq a^2+b^2$ và biên đổi tương đương)

2.

$\sum \frac{1}{7a+2}\leq \frac{1}{81}\sum \left ( \frac{7}{a}+2 \right )$ (biến đổi tương đương)

3.Giả thiết suy ra:

$3=\sum \frac{a}{bc}\geq \sum \frac{1}{a}$

 

(áp dụng $x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx$)

 

Từ ba cái trên suy ra Max =1, sơ sơ là thế

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PolarBear154: 17-11-2014 - 12:16

[dogsteven]

Luôn tồn tại các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn:

$$a=\dfrac{x+y+z}{3\sqrt{yz}},...$$

 

$$P=\sum \sqrt{\dfrac{3\sqrt{yz}(x+y+z)}{8(x+y+z)^2+9yz}}$$

 

Chuẩn hóa $xy+yz+zx\leqslant x+y+z=3$

 

$$P\leqslant \dfrac{21}{162}(xy+yz+zx-3) + 1 \leqslant 1$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 20-11-2014 - 19:49