Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dung Du Duong: 17-11-2014 - 21:43
$P = \frac{1}{a^{4}(2b+1)(3c+1)} + \frac{1}{16b^{4}(3c+1)(a+1)} + \frac{1}{81c^{4}(a+1)(2b+1)}$
#1
Đã gửi 17-11-2014 - 21:30
- shinichikudo201, Mary Huynh và DangHuyNgheAn thích
#2
Đã gửi 17-11-2014 - 21:42
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc=$\frac{1}{6}$. Tìm GTNN của biểu thức:$P = \frac{1}{a^{4}(2b+1)(3c+1)} + \frac{1}{16b^{4}(3c+1)(a+1)} + \frac{1}{81c^{4}(a+1)(2b+1)}$Đây là bài cuối trong mục Thử sức trước kì thi của THTT số 449.Mình vừa mới nghĩ ra 1 cách, mong các bạn xem xét giùm ha!
Bài này chỉ việc đặt ẩn phụ khá đơn giản
#3
Đã gửi 19-11-2014 - 18:14
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc=$\frac{1}{6}$. Tìm GTNN của biểu thức:$P = \frac{1}{a^{4}(2b+1)(3c+1)} + \frac{1}{16b^{4}(3c+1)(a+1)} + \frac{1}{81c^{4}(a+1)(2b+1)}$Đây là bài cuối trong mục Thử sức trước kì thi của THTT số 449.
Đặt $\left\{\begin{matrix} a=\frac{1}{x} & & & \\ 2b=\frac{1}{y} & & & \\ 3c=\frac{1}{z}& & & \end{matrix}\right.$$\Rightarrow xyz=1$
Áp dung BDT Cô-si cho 3 số dương:
$x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}\Leftrightarrow x+y+z\geq 3\Leftrightarrow 3(x^2+y^2+z^2)\geq (x+y+z)^2\geq 9\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\geq 3$
Khi đó P=$\sum \frac{1}{\frac{1}{x^4}(\frac{1}{y}+1)(\frac{1}{z}+1)}\Rightarrow \sum \frac{x^4}{1+\frac{1}{yz}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}\geq \frac{(\sum x^2)^2}{3+2\sum \frac{1}{x}+\sum \frac{1}{xy}}= \sum \frac{(\sum x^2)^2}{3+x+y+z+2(xy+yz+xz)}\geq \frac{(\sum x^2)^2}{3+\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}+2(x^2+y^2+z^2)}\geq \frac{(\sum x^2)^2}{x^2+y^2+z^2+\sqrt{(\sum x^2)^2}+2(x^2+y^2+z^2)}= \frac{(\sum x^2)^2 }{4(x^2+y^2+z^2)}\geq \frac{x^2+y^2+z^2}{4}\geq \frac{3}{4}$
DBXR khi x=y=z$\Leftrightarrow a=2b=3c\Leftrightarrow a=1;b=\frac{1}{2};c=\frac{1}{3}$
- chieckhantiennu và Dung Du Duong thích
#4
Đã gửi 19-11-2014 - 19:18
Đặt $\left\{\begin{matrix} a=\frac{1}{x} & & & \\ 2b=\frac{1}{y} & & & \\ 3c=\frac{1}{z}& & & \end{matrix}\right.$$\Rightarrow xyz=1$
Áp dung BDT Cô-si cho 3 số dương:
$x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}\Leftrightarrow x+y+z\geq 3\Leftrightarrow 3(x^2+y^2+z^2)\geq (x+y+z)^2\geq 9\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\geq 3$
Khi đó P=$\sum \frac{1}{\frac{1}{x^4}(\frac{1}{y}+1)(\frac{1}{z}+1)}\Rightarrow \sum \frac{x^4}{1+\frac{1}{yz}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}\geq \frac{(\sum x^2)^2}{3+2\sum \frac{1}{x}+\sum \frac{1}{xy}}= \sum \frac{(\sum x^2)^2}{3+x+y+z+2(xy+yz+xz)}\geq \frac{(\sum x^2)^2}{3+\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}+2(x^2+y^2+z^2)}\geq$$ \frac{(\sum x^2)^2}{x^2+y^2+z^2+\sqrt{(\sum x^2)^2}+2(x^2+y^2+z^2)}= \frac{(\sum x^2)^2 }{4(x^2+y^2+z^2)}\geq \frac{x^2+y^2+z^2}{4}\geq \frac{3}{4}$
DBXR khi x=y=z$\Leftrightarrow a=2b=3c\Leftrightarrow a=1;b=\frac{1}{2};c=\frac{1}{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichikudo201: 19-11-2014 - 19:22
It is the quality of one's convictions that determines success, not the number of followers
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: thtt
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
Chứng minh O,I,E thẳng hàngBắt đầu bởi nguyen minh hieu hp, 12-04-2019 thtt, hình học 9 và . |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh có ít nhất một nhân tử nguyên tố không vượt quá $k$Bắt đầu bởi Donald Trump, 08-05-2017 thtt, số hoàn hảo |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Tài nguyên Olympic toán →
Toán học & Tuổi trẻ →
Xin đề ra kỳ này của THTT tháng $12-2015$Bắt đầu bởi 1110004, 14-12-2015 thtt |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Tài nguyên Olympic toán →
Toán học & Tuổi trẻ →
Đề ra kì này, THTT tháng 8/2013.Bắt đầu bởi namcpnh, 22-08-2013 thtt |
|
||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Tài nguyên Olympic toán →
Toán học & Tuổi trẻ →
Đọc tạp chí toán học tuổi trẻ và tạp chí hóa học - ứng dụng trên mạng có đc ko? Và nếu đc thì ở trang nào vậy các bạnBắt đầu bởi thanhdatpro16, 03-11-2012 thtt |
|
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh