Chủ đề này có 3 trả lời

[mnguyen99]

Tìm hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow R$

$f(f(x)+y)=f(x+y)+xf(y)-xy-x+1$

[Hoang Tung 126]

Tìm hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow R$

$f(f(x)+y)=f(x+y)+xf(y)-xy-x+1$

    Đặt $f(0)=a$

 

-Cho $x=y=0= > f(f(0))=f(0)+1= > f(a)=a+1$ (Do $f(0)=a$)

 

-Cho $x=a,y=0= > f(f(a))=f(a)+af(0)-a+1= > f(a+1)=a+1+a^2-a+1$

 

         $= > f(a+1)=a^2+2$  (Do $f(a)=a+1$)

 

-Cho $x=0,y=-a= > f(f(0)-a)=f(-a)+1=f(a-a)=f(0)=a$

 

       $= > f(-a)=a-1$ (Do $f(0)=a$)

 

-Cho $x=0,y=1= > f(f(0)+1)=f(1)+1= > f(a+1)=f(1)+1= > a^2+2=f(1)+1$

 

        $= > f(1)=a^2+1$  (Do $f(a+1)=a^2+2$)  (1)

 

-Cho $x=a,y=-a= > f(f(a)-a)=f(0)+af(-a)+a^2-a+1=a+a(a-1)+a^2-a+1=2a^2-a+1$

 

        $= > f(a+1-a)=2a^2-a+1= > f(1)=2a^2-a+1$  (2)

  

  (Do $f(a)=a+1,f(-a)=a-1$)

 

-Từ (1),(2) $= > a^2+1=2a^2-a+1= > a^2-a=0= > a(a-1)=0= > a=0,a=1$

 

+ Nếu $a=0= > f(0)=0$

 

-Chọn $x=0= > f(f(0)+y)=f(y)+1= > f(y)=f(y)+1= > 1=0$ (vô lý)

 

+Nếu $a=1= > f(0)=1$

 

-Chọn $y=0= > f(f(x))=f(x)+xf(0)-x+1= > f(f(x))=f(x)+x-x+1=f(x)+1$

 

  $= > f(f(x))=f(x)+1$ (3)

 

   Do hàm $f$ thuộc $R$ nên tồn tại số thực  $u$ sao cho $f(x)=u$ 

 

  Từ (3) $= > f(u)=u+1$

 

       Vậy hàm $f(x)=x+1$ thỏa mãn điều kiện bài toán

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Daicagiangho1998: 18-11-2014 - 16:07

[Kool LL]

+Nếu $a=1= > f(0)=1$

 

-Chọn $y=0= > f(f(x))=f(x)+xf(0)-x+1= > f(f(x))=f(x)+x-x+1=f(x)+1$

 

  $= > f(f(x))=f(x)+1$ (3)

 

   Do hàm $f$ thuộc $R$ nên tồn tại số thực  $u$ sao cho $f(x)=u$ 

 

  Từ (3) $= > f(u)=u+1$ (4)

 

       Vậy hàm $f(x)=x+1$ thỏa mãn điều kiện bài toán

 

Chỗ màu đỏ không ổn, để có thể từ (3) suy ra (4) thì cẩn phải cm hàm $f$ là toàn ánh, tức là cần cm $\forall u, \exists x$ sao cho $f(x)=u$

Còn bạn thì ngược lại, $\forall x, \exists u$ sao cho f(x)=u$. Điều này không thể kết hợp với (3) để suy ra (4) được đâu.

[Kool LL]

Tìm hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow R$

$f(f(x)+y)=f(x+y)+xf(y)-xy-x+1$

 

Theo CM của @Daicagiangho1998, mình trình bày gọn lại cho mọi người dễ hiểu hơn, và sửa lại sai sót của phần cuối cùng như sau :

 

$f(f(x)+y)=f(x+y)+xf(y)-xy-x+1,\ \forall x,y$ (1)

Đặt $f(0)=a\in\mathbb{R}$

(1) $\overset{x=y=0}{\Rightarrow} f(a)=a+1$

(1) $\overset{x=0,y=-a}{\Rightarrow}a=f(-a)+1\ \Rightarrow f(-a)=a-1$

(1) $\overset{x=a,y=0}{\Rightarrow}f[f(a)]=a+1+a^2-a+1\ \Rightarrow f(a+1)=a^2+2$

(1) $\overset{x=0,y=1}{\Rightarrow}f(a+1)=f(1)+1\ \Rightarrow f(1)=a^2+1$ (*)

(1) $\overset{x=a,y=-a}{\Rightarrow}f(1)=a+a(a-1)+a^2-a+1\ \Rightarrow f(1)=2a^2-a+1$ (**)

Từ (*)(**) $\Rightarrow a^2-a=0\ \Rightarrow a=0$ hoặc $a=1$.

$\boxed{}\ \underline{TH\ :\ a=0} :$  $1=a+1=f(a)=f(-a)=a-1=-1$ ! (Vô lý)

$\boxed{}\ \underline{TH\ :\ a=1} :$  $f(0)=1;\ f(1)=2$

(1) $\overset{x=0}{\Rightarrow} f(y+1)=f(y)+1,\ \forall y$ $\Rightarrow f(y+1)-f(y)=1,\ \forall y$ (2)

(1) $\overset{x=1}{\Rightarrow} f(y+2)=f(y+1)+f(y)-y,\ \forall y$ $\Rightarrow f(y)-y=f(y+2)-f(y+1)\overset{(2)}{=}1,\ \forall y$

Vậy : $f(x)=x+1,\ \forall x$.