Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\leq a+b+c$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 huy2403exo

huy2403exo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Trần Phú

Đã gửi 19-11-2014 - 16:42

Chứng minh với mọi $a;b;c$ dương ta có :

1. $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\leq a+b+c$

2. $(a_{1}+a_{2})(a_{2}+a_{3})...(a_{n-1}+a_{n})\geq 2^{n-1}$ 

  $a_{i}\geq 0$ ; $i\in \left \{ 1;2;3;...n \right \}$ và $a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}=1$

3. $\frac{2ab}{a^2+b^2}+\frac{2bc}{b^2+c^2}+\frac{2ac}{a^2+c^2}\leq 3$

4. $\frac{a^2}{2b+c}+\frac{b^2}{2a+c}+\frac{c^2}{2c+a}\geq \frac{a+b+c}{4}$

5. $\frac{a^2}{a+2b+3c}+\frac{b^2}{2a+3b+c}+\frac{c^2}{3a+b+2c}\geq -\frac{1}{2}$

   ($a+b+c=1$)

6. $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\leq \frac{3}{4}\left ( \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac} \right )$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huy2403exo: 19-11-2014 - 16:44

Thành công là khả năng đi từ thất bại này đến thất bại khác mà không mất đi nhiệt huyết

Nhiều người ước mơ được thành công. Thành công chỉ có thể đạt được qua thất bại và sự nội quan liên tục. Thật ra, thành công thể hiện 1% công việc ta làm – kết quả có được từ 99% cái gọi là thất bại.

 

 

Điều bạn gặt hái được bằng việc đạt được mục tiêu không quan trọng bằng con người bạn trở thành khi đạt được mục tiêu.

  •  

 


#2 hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình

Đã gửi 19-11-2014 - 17:39

Chứng minh với mọi $a;b;c$ dương ta có :

1. $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\leq a+b+c$

2. $(a_{1}+a_{2})(a_{2}+a_{3})...(a_{n-1}+a_{n})\geq 2^{n-1}$ 

  $a_{i}\geq 0$ ; $i\in \left \{ 1;2;3;...n \right \}$ và $a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}=1$

3. $\frac{2ab}{a^2+b^2}+\frac{2bc}{b^2+c^2}+\frac{2ac}{a^2+c^2}\leq 3$

4. $\frac{a^2}{2b+c}+\frac{b^2}{2a+c}+\frac{c^2}{2c+a}\geq \frac{a+b+c}{4}$

5. $\frac{a^2}{a+2b+3c}+\frac{b^2}{2a+3b+c}+\frac{c^2}{3a+b+2c}\geq -\frac{1}{2}$

   ($a+b+c=1$)

6. $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\leq \frac{3}{4}\left ( \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac} \right )$

1. Áp dụng AM-GM:

$\frac{1}{2}(a+b)\geq \sqrt{ab}\Rightarrow \sum\frac{1}{2}(a+b)\geq \sum \sqrt{ab}\Rightarrow \sum a\geq \sum \sqrt{ab}$

2. AM-GM cho các cặp trong ngoặc

3. AM-GM dưới mẫu



#3 Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1395 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ĐH Quốc Gia Hà Nội}$ $\textrm{Trường ĐH Công Nghệ}$
  • Sở thích:$\textrm{Làm Những Gì Mình Thích}$

Đã gửi 19-11-2014 - 17:55

Chứng minh với mọi $a;b;c$ dương ta có :

1. $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\leq a+b+c$

2. $(a_{1}+a_{2})(a_{2}+a_{3})...(a_{n-1}+a_{n})\geq 2^{n-1}$ 

  $a_{i}\geq 0$ ; $i\in \left \{ 1;2;3;...n \right \}$ và $a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}=1$

3. $\frac{2ab}{a^2+b^2}+\frac{2bc}{b^2+c^2}+\frac{2ac}{a^2+c^2}\leq 3$

4. $\frac{a^2}{2b+c}+\frac{b^2}{2a+c}+\frac{c^2}{2c+a}\geq \frac{a+b+c}{4}$

5. $\frac{a^2}{a+2b+3c}+\frac{b^2}{2a+3b+c}+\frac{c^2}{3a+b+2c}\geq -\frac{1}{2}$

   ($a+b+c=1$)

6. $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\leq \frac{3}{4}\left ( \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac} \right )$

Bài 1:

$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geq0\Leftrightarrow a+b\geq 2\sqrt{ab}$.DBXR khi a=b

CMTT:$b+c\geq 2\sqrt{bc}$.DBXR khi b=c

$c+a\geq 2\sqrt{ca }$.DBXr khi c=a

$\Leftrightarrow a+b+c\sum \sqrt{ab}$



#4 baotranthaithuy

baotranthaithuy

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 291 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 19-11-2014 - 18:12

6.

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b} $

$\frac{1}{c}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{c+b} $

$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\geq \frac{4}{a+c}$

$\Rightarrow 3(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 4(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})$

suy ra đpcm



#5 baotranthaithuy

baotranthaithuy

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 291 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 19-11-2014 - 18:22

$4. \frac{a^{2}}{2b+c}+\frac{b^{2}}{2c+a}+\frac{c^{2}}{2a+b}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2b+c+2c+a+2a+b}= \frac{a+b+c}{3}$

$> \frac{a+b+c}{4} $

$5. \frac{a^{2}}{a+2b+3c}+\frac{b^{2}}{3b+2a+c}+\frac{c^{2}}{2c+3a+b}$

$\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{6(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{6}=\frac{1}{6}>\frac{-1}{2}$



#6 Chung Anh

Chung Anh

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 420 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT Chuyên Hưng Yên
  • Sở thích:Prime

Đã gửi 19-11-2014 - 18:22

 

4. $\frac{a^2}{2b+c}+\frac{b^2}{2a+c}+\frac{c^2}{2c+a}\geq \frac{a+b+c}{4}$

 

Chỗ màu đỏ phải là 3,màu xanh là b chứ bạn

$(\frac{2b+c}{9}+\frac{2a+c}{9}+\frac{2c+a}{9})(\frac{a^2}{2b+c}+\frac{b^2}{2a+c}+\frac{c^2}{2c+b})\geq (\frac{a}{3}+\frac{b}{3}+\frac{c}{3})^2=\frac{(a+b+c)^2}{9}$ (Cauchy Schwarz)

$\Rightarrow \frac{(a+b+c)}{3}.VT\geq \frac{(a+b+c)^2}{9}$

$\Rightarrow VT\geq \frac{a+b+c}{3}$

Dấu bằng xảy ra <=>a=b=c


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Chung Anh: 19-11-2014 - 18:27

Chung Anh





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh