Chủ đề này có 1 trả lời

[dangocqh]

 Giải phương trình nghiệm nguyên: $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{1}{z^2}$  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 25-11-2014 - 14:28

[Kool LL]

 giải phương trình nghiệm nguyên: 1/x² +1/y² = 1/z²  (1)

 

Xét pt nghiệm nguyên dạng $A^2+B^2=C^2$, đây là pt Pythago, có nghiệm TQ là :

$$\begin{cases}A=k.(m^2-n^2) \\ B=k.2mn \\ C=k.(m^2+n^2)\end{cases} \text{ hoặc } \begin{cases}A=k.2mn \\ B=k.(m^2-n^2) \\ C=k.(m^2+n^2)\end{cases} \ (\text{với } k,m,n \text{ tuỳ ý } \in\mathbb{Z}$$

 

(1) $\Leftrightarrow (yz)^2+(xz)^2=(xy)^2$ với $x,y,z\in\mathbb{Z}^*$

$\Leftrightarrow \begin{cases}yz=k.(m^2-n^2) \\ xz=k.2mn \\ xy=k.(m^2+n^2)\end{cases}$  hoặc  $\begin{cases}yz=k.2mn \\ xz=k.(m^2-n^2) \\ xy=k.(m^2+n^2)\end{cases}$   $(\text{với } k,m,n \text{ tuỳ ý } \in\mathbb{Z}^*,\ m\ne n)$

 

$\Leftrightarrow \begin{cases}x^2=\frac{k.(m^2+n^2)2mn}{m^2-n^2} \\ y^2=\frac{k.(m^2-n^2)(m^2+n^2)}{2mn} \\ z^2=\frac{k.(m^2-n^2)2mn}{m^2+n^2}\end{cases}$  hoặc $\begin{cases}x^2=\frac{k.(m^2-n^2)(m^2+n^2)}{2mn} \\ y^2=\frac{k.(m^2+n^2)2mn}{m^2-n^2} \\ z^2=\frac{k.(m^2-n^2)2mn}{m^2+n^2}\end{cases}$   $(\text{với } k,m,n \text{ tuỳ ý } \in\mathbb{Z}^*,\ m\ne n)$

 

Chọn $k=l^2(m^2-n^2)(m^2+n^2)2mn$ thì

$$\begin{cases}x=l.(m^2+n^2)2mn \\ y=l.(m^2-n^2)(m^2+n^2) \\ z=l.(m^2-n^2)2mn\end{cases}  \text{ hoặc } \begin{cases}x=l.(m^2-n^2)(m^2+n^2) \\ y=l.(m^2+n^2)2mn \\ z=l.(m^2-n^2)2mn\end{cases} \ (\text{ với } l,m,n \text{ tuỳ ý } \in\mathbb{Z}^*,\ m\ne n)$$

 

Thử lại thấy đúng.