Chủ đề này có 12 trả lời

[quangbinng]

Cho ma trận vuông $A$ lũy linh và ma trận $B$ cùng cấp thỏa mãn $AB=BA$. Chứng minh rằng:

 

$$det(A^2+AB+B^2)=(det(A))^2$$

[vo van duc]

Cho ma trận vuông $A$ lũy linh và ma trận $B$ cùng cấp thỏa mãn $AB=BA$. Chứng minh rằng:

 

$$det(A^2+AB+B^2)=(det(A))^2$$

 

Đề bài sai rồi em ơi!

 

Phản ví dụ:

 

Với ma trận $A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ và $B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ thì $A$ là ma trận lũy linh và $AB=BA$. Tuy nhiên $\det (A^2+AB+B^2)=1$ còn $\det A=0$

 

Bài này tôi đã đưa lên diễn đàn trước đây và được nêu trong mục lục các bài toán về định thức (bài số 15). Các bạn vào đó và thảo luận thêm nha! 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 23-11-2014 - 23:56

[quangbinng]

 

Em thử chứng minh khẳng định: Nếu $A,B$ là 2 ma trận giao hoán và $B$ luỹ linh thì $det(A+B)=detA$.

Anh gợi ý là dùng tính chất của giá trị riêng: Nếu $A$ có các giá trị riêng là $\lambda_{i}, i=1,2,..n$ thì $det(A)=\prod_{i=1}^n \lambda_i$

 

 

Dù có gợi ý nhưng em không nghĩ ra được cách chứng minh ạ @@,  anh giúp em với.

 

đây là link bài 15:http://diendantoanho...et-b2/?p=394185

[ChangBietDatTenSaoChoDoc]

Gọi các giá trị riêng của $A,B$ tương ứng là $\alpha _i, \beta _i$. Do $B$ lũy linh nên $\beta _i =0$.

Khi đó $$\det \left ( A+B \right )=\prod_{i=1}^{n} \left ( \alpha _i + \beta _i \right ) = \prod_{i=1}^{n} \alpha _i = \det A$$.

[quangbinng]

Gọi các giá trị riêng của $A,B$ tương ứng là $\alpha _i, \beta _i$. Do $B$ lũy linh nên $\beta _i =0$.

Khi đó $$\det \left ( A+B \right )=\prod_{i=1}^{n} \left ( \alpha _i + \beta _i \right ) = \prod_{i=1}^{n} \alpha _i = \det A$$.

Chỗ tô đậm em không hiểu lắm ạ, anh giải thích kĩ hơn được không ạ, sao giá trị riêng của tổng 2 ma trận giao hoán lại là tổng giá trị riêng của 2 ma trận @@

[ChangBietDatTenSaoChoDoc]

Vì $\left ( A+B \right )x=Ax+Bx=\alpha x+\beta x=\left ( \alpha +\beta \right )x$. Nghĩa là $\alpha +\beta$ là một giá trị riêng của $A+B$.

[quangbinng]

Vì $\left ( A+B \right )x=Ax+Bx=\alpha x+\beta x=\left ( \alpha +\beta \right )x$. Nghĩa là $\alpha +\beta$ là một giá trị riêng của $A+B$.

 ở dấu bằng thứ 2:

 

$ Ax+Bx=\alpha x+\beta x$

 

ở đây có phải anh đã coi $x$ là vector riêng chung của 2 ma trân không ạ, nhưng 2 ma trận đâu phải khi nào cũng có vector riêng chung ạ, anh vẫn chưa sử dụng tính giao hoán ạ?

[ChangBietDatTenSaoChoDoc]

Ừ nhỉ. Mình hơi vội. À mà xét trên trường phức nhé.

Mình sẽ chứng minh A và B có vector riêng chung.

Gọi $V_\alpha =\left \{ x| Ax=\alpha x \right \}$. Dùng tính giao hoán để chứng minh $V_\alpha$ ổn định đối với $B$

$$A\left ( Bx \right )=B\left ( Ax \right )=\alpha Bx, \forall x \in V_\alpha$$.

Gọi $B_\alpha$ là hạn chế của $B$ lên $V_\alpha$. Khi đó $B_\alpha$ có ít nhất một giá trị riêng trong $V_\alpha$.

Tức là $A$ và $B$ có vector riêng chung.

[quangbinng]

Ừ nhỉ. Mình hơi vội. À mà xét trên trường phức nhé.

Mình sẽ chứng minh A và B có vector riêng chung.

Gọi $V_\alpha =\left \{ x| Ax=\alpha x \right \}$. Dùng tính giao hoán để chứng minh $V_\alpha$ ổn định đối với $B$

$$A\left ( Bx \right )=B\left ( Ax \right )=\alpha Bx, \forall x \in V_\alpha$$.

Gọi $B_\alpha$ là hạn chế của $B$ lên $V_\alpha$. Khi đó $B_\alpha$ có ít nhất một giá trị riêng trong $V_\alpha$.

Tức là $A$ và $B$ có vector riêng chung.

Bạn nói khó hiểu quá, chỗ " Khi đó $B_{\alpha}$ có ít nhất một giá trị riêng trong $V_\alpha$". Ở đây $V_\alpha$ gồm các vector chứ đâu có giá trị riêng ở trong đó ?.

[quangbinng]

Mình cũng chưa giải được bài toán: 

 

Hai ma trận phức giao hoán thì có 1 vector riêng chung

 

Có thể cách bạn đúng nhưng mình ko hiểu lắm, bạn giải thích kĩ lại với @@

 

p/s: Cho dù giải được bài này thì cũng chưa giải được bài ban đầu  vì 2 ma trận ko có cùng toàn bộ các vector riêng.

[ChangBietDatTenSaoChoDoc]

Bài ban đầu đã giải quyết rồi mà. Khúc sau này thảo luận cho vui thôi.

Mình sẽ chứng minh $A+B$ và $A$ có cùng đa thức đặc trưng luôn. (cho tổng quát và giải đáp hết các thắc mắc của bạn).

Lấy $\lambda \notin \sigma \left ( A \right )$, trong đó $\sigma \left ( A \right )$ là tập các giá trị riêng của $A$.

Khi đó $A-\lambda I$ khả nghịch và giao hoán với $B$. Suy ra $B\left ( A-\lambda I \right )^{-1}$ lũy linh. Do đó $\det \left (I+B\left ( A-\lambda I \right )^{-1} \right )=1$.

Ta có

$$\det \left ( A+B-\lambda I \right )=\det \left [ \left ( A-\lambda I \right ) \left ( I+B\left ( A-\lambda I \right )^{-1} \right )\right ]=\det \left ( A-\lambda I \right )$$

Ánh xạ đa thức (biến $\lambda$) trùng nhau tại vô số điểm (vì tập giá trị riêng hữu hạn) nên hai đa thức này trùng nhau trên toàn bộ $\mathbb{C}$.

Có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ChangBietDatTenSaoChoDoc: 26-11-2014 - 16:24

[quangbinng]

Cách giải hay thật đấy, bạn giúp mình bài ở trên luôn với, đề đúng là :

 

Cho $A$ và $B$ là các ma trận đối xứng thực thỏa mãn $AB=BA$. Chứng minh rằng $A$ và $B$ có chung 1 vector riêng trong $\mathbb{R}^n$.

[ChangBietDatTenSaoChoDoc]

Sử dụng tính chất, các giá trị riêng của ma trận đối xứng đều thực và ma trận đối xứng chéo hóa được. Sau đó chứng minh tương tự.

Tổng quát hơn, các $f_i$ là các tự đồng cấu tam giác hóa được trên $K$, với $K$ hữu hạn chiều, thỏa mãn các $f_i$ đôi một giao hoán. Khi đó tồn tại một vector riêng chung cho tất cả các $f_i$. (Chứng minh quy nạp theo n).