Chủ đề này có 1 trả lời

[caybutbixanh]

Bài toán : Trong không gian cho $n (n \geq 3)$ đường thẳng sao cho đôi một cắt nhau mà không đồng phẳng. Chứng minh $n$ đường thẳng đó đồng quy.

[Kool LL]

Bài toán : Trong không gian cho $n (n \geq 3)$ đường thẳng sao cho đôi một cắt nhau mà không đồng phẳng. Chứng minh $n$ đường thẳng đó đồng quy.

 

Ta CM bằng quy nạp theo $n$.

 

* Với  $n=3$:

Xét $3$ đường thẳng $a,b,c$ đôi một cắt nhau mà không đồng phẳng. Gọi $b\cap c=A\ ;\ c\cap a=B\ ;\ a\cap b=C$ và $\alpha=\text{mp}(b,c)$.

Không mất tính TQ, ta g/s $B\not\equiv C$.

Ta có $B\in c\subset\alpha,C\in b\in\alpha$ $\Rightarrow \alpha\supset\text{đt}(BC)$

Mặt khác $B,C\in a\Rightarrow a\equiv\text{đt}(BC)\subset\alpha$

Suy ra $a,b,c$ đồng phẳng trong $\alpha$ ! (Mâu thuẫn gt).

Do đó phải có $B\equiv C$.

CMTT, ta có $A\equiv B\equiv C$.

Vậy $a,b,c$ đồng quy.

 

* G/s đúng đến $n=k\ (k\ge3)$. Tức là trong KG, $k$ đt đôi một cắt nhau mà không đp thì $k$ đt đó đồng quy. (*)

 

* Xét $n=k+1$ :

Xét $k+1$ đt $d_1,\ ...,\ d_k,\ d_{k+1}$ đôi một cắt nhau mà không đp.

Theo (*) ta có $d_1,\ ...,\ d_k$ đồng quy tại $I$.

Xét riêng $3$ đt $d_1,\ d_2,\ d_{k+1}$. Ta có $d_1\cap d_2=I$.

Theo (*) ta có $d_1,\ d_2,\ d_{k+1}$ đồng quy, tức là $d_{k+1}$ cũng đi qua $I$.

 

Theo nguyên lý quy nạp, ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 21-11-2014 - 21:57