Chủ đề này có 9 trả lời

[thuylinh_909]

M.n giúp e với ạ !!!

Cho ma trận 

 

$A=\begin{pmatrix} -3 &4 & 2\\ 2&4 & -2\\ 0 &2 & -1 \end{pmatrix}$

 

Tính $A^{2010}$

[quangbinng]

M.n giúp e với ạ !!!

Cho ma trận 

 

$A=\begin{pmatrix} -3 &4 & 2\\ 2&4 & -2\\ 0 &2 & -1 \end{pmatrix}$

 

Tính $A^{2010}$

 

Bài này em dùng đa thức đặc trưng ý.

 

$P_{A} (x)=x^3-17x-16=(x+1)(x-\frac{\sqrt{65}+1}{2})(x-\frac{\sqrt{65}-1}{2})$

 

Và $x^{2010}=(x+1)(x-\frac{\sqrt{65}+1}{2})(x-\frac{\sqrt{65}-1}{2})+(ax^2+bx+c) (1) $

thay $x=-1,\frac{\sqrt{65}+1}{2} ,\frac{\sqrt{65}-1}{2}$ vào (1) ta thu được:

 

$\begin{cases} (1)^{2010}=(-1)^2a+(-1)b+c \\ (\frac{\sqrt{65}+1}{2})^{2010}=(\frac{\sqrt{65}+1}{2})^2a+b(\frac{\sqrt{65}+1}{2})+c \\ (\frac{\sqrt{65}-1}{2})^{2010}=(\frac{\sqrt{65}-1}{2})^2a+(\frac{\sqrt{65}-1}{2})b+c \end{cases}$

 

giả ra a,b,c. sau đó thay $x=A$ vào (1) . Theo định lí Hamilton_Kelly thì $A^3-17A-16E=0$ cho nên ta thu được:

 

$A^{2010}=a A^2+bA+cE$ ( với $a,b,c$ đã tìm được ở trên)

 

căn bản là bài này số lẻ quá nên ngại tính.

[thuylinh_909]

O_0 cái này chắc vài hôm nữa e mới học để đọc sau vậy !!!

Nhưng chắc là phải có cách khác vì bt này trong giáo trình e học mà qua bài này mới đến phần đa thức đặc trưng ..!!!

[quangbinng]

 chưa học đa thức đặc trưng với Hamilton Kelly à. Vậy thì thường thường, ở phần a, người ta sẽ cho  1 đa thức bậc bé có nghiệm là A chứ, để rồi phần b) dựa vào đấy lấy $x^{2010}$ chia cho đa thức đó để tìm ra phần dư. nếu bỏ đi phần a) thì chắc thiên tài mới nghĩ ra  

[thuylinh_909]

 

 

 

Và $x^{2010}=(x+1)(x-\frac{\sqrt{65}+1}{2})(x-\frac{\sqrt{65}-1}{2})+(ax^2+bx+c) (1) $

thay $x=-1,\frac{\sqrt{65}+1}{2} ,\frac{\sqrt{65}-1}{2}$ vào (1) ta thu được:

 

 

 Những bài như thế này thường xét đẳng thức tương tự (1) ạ . 

Nhưng sao lại có ý tưởng như vậy hả a ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thuylinh_909: 10-12-2014 - 21:09

[cothomex]

Bạn ơi bài nếu nhân ra thì ta có A^3=A.nên có thể phân tích cái 2010 thành mũ 3 rồi mũbao nhiêu đấy.tiếp tục lại phân tách cái mũ mình vưà tìm đ̣c

[quangbinng]

Bạn ơi bài nếu nhân ra thì ta có A^3=A.nên có thể phân tích cái 2010 thành mũ 3 rồi mũbao nhiêu đấy.tiếp tục lại phân tách cái mũ mình vưà tìm đ̣c

ko phải,

$A^3=17A+16E$

[cothomex]

Mình nhìn lộn số 4 ở dòng 1 cột ̀2 là -4.vì đề này giống trong giáo trình cuả mình.giống tất cả trừ số 4.

[ChangBietDatTenSaoChoDoc]

Bài này em dùng đa thức đặc trưng ý.

 

$P_{A} (x)=x^3-17x-16=(x+1)(x-\frac{\sqrt{65}+1}{2})(x-\frac{\sqrt{65}-1}{2})$

 

Và $x^{2010}=(x+1)(x-\frac{\sqrt{65}+1}{2})(x-\frac{\sqrt{65}-1}{2})+(ax^2+bx+c) (1) $

 

 

Số mũ hai bên khác nhau kìa. Nhân thêm với một đa thức nào đó nữa chứ.

[thuylinh_909]

Tìm các giá trị riêng của $A$ rồi tìm các vecto riêng tương ứng để chéo hóa $A$

Khi đó có $A=C^{-1}BC$ trong đó $B$ là ma trận chéo 

Từ đó $A^{n}=C^{-1}B^{n}C$