Chủ đề này có 1 trả lời

[Melodyy]

Cho đa thức $P(x)=x^{3}-6x+9$ và $P_{n}(x)=P(P(...(P(x)))...)$ (n dấu ngoặc)
Tìm số nghiệm của $P(x)$ và $P_{n}(x)$

 

[chanhquocnghiem]

Cho đa thức $P(x)=x^{3}-6x+9$ và $P_{n}(x)=P(P(...(P(x)))...)$ (n dấu ngoặc)
Tìm số nghiệm của $P(x)$ và $P_{n}(x)$

Sửa lại đề cho rõ ràng : "...Tìm số nghiệm THỰC của $P(x)$ và $P_n(x)$"

------------------------------------------------------------

Xét hàm số $f(x)=x^3-6x+9$.

$f'(x)=3x^2-6x\Rightarrow$ trên khoảng $(-\infty;-\sqrt2)$, hàm số ĐỒNG BIẾN.

$P(x)=x^3-6x+9=(x+3)(x^2-3x+3)$ có đúng $1$ nghiệm thực là $-3$ (Từ đó suy ra $P(x)> 0,\forall x> -3$)

 

$P_1(x)$ (cũng tức là $P(x)$) có đúng $1$ nghiệm thực là $A_1=-3$ ($A_1\in (-\infty;-3]$)

Giả sử $P_k(x)$ (với $k\geqslant 1$) cũng có đúng $1$ nghiệm thực là $A_k$ và $A_k\in (-\infty;-3]$.

Khi đó số thực $A_{k+1}$ là nghiệm của $P_{k+1}(x)$ khi và chỉ khi

$P_{k+1}(A_{k+1})=0\Leftrightarrow P_k(P(A_{k+1}))=0\Leftrightarrow P(A_{k+1})=A_k$

$\left\{\begin{matrix}P(A_1)=P(-3)=0\\A_1=-3< 0\\f(x)\ dong\ bien\ tren\ (-\infty;-3]\\P(A_{k+1})=A_k \end{matrix}\right.\Rightarrow A_{k+1}< A_k\Rightarrow A_{k+1}\in(-\infty;-3]$

$\left\{\begin{matrix}A_{k+1}\in(-\infty;-3]\\f(x)\ dong\ bien\ tren\ (-\infty;-3]\\P(A_{k+1})=A_k\leqslant A_1=-3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$ chỉ có đúng $1$ số thực $A_{k+1}$ thỏa mãn $P(A_{k+1})=A_k$

$\Leftrightarrow P_{k+1}(x)$ có đúng $1$ nghiệm thực là $A_{k+1}$ và $A_{k+1}\in(-\infty;-3]$.

Theo nguyên lý quy nạp, $P_n(x)$ có đúng $1$ nghiệm thực với mọi $n\in\mathbb{N}^*$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 22-09-2018 - 15:12