Cho hệ
$\left\{\begin{matrix} ax_{1}+bx_{2}+...+ bx_{n}=0\\ cx_{1}+ax_{2}+...+bx_{n}=0\\ \ddots\\ cx_{1}+cx_{2}+...+ax_{n}=0 \end{matrix}\right.$
Tìm điều kiện của a, b, c để hệ phương trình trên có nghiệm không tầm thường ??
Em làm thế này nhưng không ổn lắm
Điều kiện là $detA= 0$ trong đó $A$ là ma trận các hệ số của hpt
Em dùng khai triển Laplace với quy nạp tính được $det A =\frac{c-2a}{b+c-2a}(a-b)^{n}+\frac{b}{b+c-2a}(c-a)^{n}$
Đến đây thì chả biết giải đk det A = 0 thế nào ạ
Mọi người xem giúp e có hướng nào khác làm bài này không nhé !!!!
$D_n=|A_n|=\left|\begin{matrix}a&b&b&...&b&b \\ c&a&b&...&b&b\\ c&c&a&...&b&b \\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots \\ c&c&c&...&a&b \\ c&c&c&...&c&a\end{matrix}\right|_n$ $\overset{c_1'=c_1-c_2}{=}\left|\begin{matrix}a-b&b&b&...&b&b \\ c-a&a&b&...&b&b\\ 0&c&&&& \\ \vdots&\vdots&&A_{n-2}&& \\ 0&c&&&& \\ 0&c&&&&\end{matrix}\right|_n$ $\overset{d_1'=d_1-d_2}{=}\left|\begin{matrix}2a-b-c&b-a&0&...&0&0 \\ c-a&a&b&...&b&b\\ 0&c&&&& \\ \vdots&\vdots&&A_{n-2}&& \\ 0&c&&&& \\ 0&c&&&&\end{matrix}\right|_n$
$\overset{(\text{theo }c_1)}{=}(2a-b-c).\left|\begin{matrix}a&b&...&b&b\\ c&&&& \\ \vdots&&A_{n-2}&& \\ c&&&& \\ c&&&&\end{matrix}\right|_{n-1}$$-(c-a).\left|\begin{matrix}b-a&0&...&0&0 \\ c&&&& \\ \vdots&&A_{n-2}&& \\ c&&&& \\ c&&&&\end{matrix}\right|_{n-1}$ $\overset{(\text{theo }d_1)}{=}(2a-b-c).D_{n-1}-(c-a)(b-a).D_{n-2}$
Ta có pt sai phân : $D_n+(b+c-2a).D_{n-1}+(b-a)(c-a).D_{n-2}=0$
Pt đặc trưng : $k^2+(b+c-2a)k+(b-a)(c-a)=0$ $\Leftrightarrow k_1=a-b\ ;\ k_2=a-c$
$\boxed{}$ Nếu $c\ne b$ : thì nghiệm TQ là : $D_n=C_1.(a-b)^n+C_2.(a-c)^2$
với $\left.\begin{cases}C_1(a-b)+C_2(a-c)=D_1=a\\C_1(a-b)^2+C_2(a-c)^2=D_2=a^2-bc\end{cases}\right\}$ $\Rightarrow C_1=\frac{c}{c-b}\ ;\ C_2=\frac{b}{b-c}$
Suy ra $\boxed{D_n=\frac{c}{c-b}.(a-b)^n+\frac{b}{b-c}.(a-c)^n=\frac{b.(a-c)^n-c.(a-b)^n}{b-c}}$
$\boxed{}$ Nếu $c=b$ : thì nghiệm TQ là : $D_n=(C_1.n+C_2).(a-b)^n$
với $\left.\begin{cases}(C_1+C_2).(a-b)=D_1=a\\(2C_1+C_2).(a-b)^2=D_2=a^2-b^2\end{cases}\right\}$ $\Rightarrow C_1=\frac{b}{a-b}\ ;\ C_2=1$
Suy ra $\boxed{D_n=\left(\frac{bn}{a-b}+1\right).(a-b)^n=[a+(n-1)b].(a-b)^{n-1}}$
Để hpt có nghiệm không tầm thường $\Leftrightarrow D_n\ne0$ $\Leftrightarrow\begin{cases}c\ne b \\ b(a-c)^n\ne c(a-b)^n \end{cases}$ hoặc $\begin{cases}c=b \\ a\ne (1-n)b\ \wedge\ a\ne b \end{cases}$
chứ không phải bằng không. Sao em tính được định thức vậy.Nêu cách làm đi, mà điều kiện thì mình không cần rút gọn, cứ để thế cũng được
