Chủ đề này có 3 trả lời

[Dung Du Duong]

Chứng minh rằng :

$\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{n} \geqslant 2^{n}x^{n}y^{n} + \left ( x^{n}-y^{n} \right )^{2}$

trong đó x,y là các số dương và n là số nguyên dương.   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dung Du Duong: 22-11-2014 - 20:14

[shinichikudo201]

 

Chứng minh rằng :

$\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{n} \geqslant 2^{n}x^{n}y^{n} + \left ( x^{n}+y^{n} \right )^{2}$

trong đó x,y là các số dương và n là số nguyên dương.   

 

Sai với $a=b=n=1$

[Dung Du Duong]

Sai với $a=b=n=1$

Sorry! Mình đánh nhầm văn bản

[le_hoang1995]

 

Chứng minh rằng :

$\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{n} \geqslant 2^{n}x^{n}y^{n} + \left ( x^{n}-y^{n} \right )^{2}$

trong đó x,y là các số dương và n là số nguyên dương.   

 

Chưa nghĩ ra cách trực tiếp nên sài tạm cách Quy nạp

Dễ thấy với $n=1$ hoặc $n=2$, BĐT đúng với mọi $x,y$ dương

Với $n\geq 3$ chia hai vế cho $y^{2n}$ rồi đặt ẩn, ta được BĐT $(a^2+1)^n\geq 2^n.a^n+(a^n-1)^2$        (1)

Với n=3, BĐT tương đương $a^4+a^2\geq2a^3$ đúng

----------------------------------------------------------

Ta chứng minh bổ đề $(a^2+1)(a^{n}-1)^2\geq (a^{n+1}-1)^2$ với mọi $n\geq3$         

Bổ đề tương đương

$(a^2+1).(a^n-1)^2\geq \left [ a(a^n-1)+(a-1) \right ]^2$
$\Leftrightarrow a^2.(a^n-1)^2+(a^n-1)^2\geq a^2.(a^n-1)^2+2a(a-1)(a^n-1)+(a-1)^2$
$\Leftrightarrow (a^n-1)^2-2.a(a-1).(a^n-1)+a^2(a-1)^2-a^2(a-1)^2-(a-1)^2\geq0$

$\Leftrightarrow \left [ (a^n-1)-a(a-1) \right ]^2-(a-1)^2(a^2+1)\geq 0$

$\Leftrightarrow (a-1)^n.(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a^2+a+1-a)^2-(a-1)^2(a^2+1)\geq 0$

$\Leftrightarrow (a-1)^2.\left [ (a^{n-1}+a^{n-2}+...+a^2+1)^2-(a^2+1) \right ]\geq 0$

Vì $n\geq3$ nên $(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a^2+1)^2-(a^2+1)\geq (a^2+1)^2-(a^2+1)=(a^2+1).a^2\geq 0$

Vậy bổ đề đúng với mọi $n\geq3$

-------------------------------------------------------------

Quay lại BĐT (1)

Giả sử BĐT đúng với mọi $n=m\geq3$

$$(a^2+1)^m\geq 2^m.a^m+(a^m-1)^2$$

Suy ra $$(a^2+1)^{m+1}=(a^2+1).(a^2+1)^m\geq (a^2+1).\left [ 2^m.a^m+(a^m-1)^2 \right ]$$

$$=(a^2+1).2^m.a^m+(a^2+1).(a^m-1)^2\geq 2a.2^m.a^m+(a^{m+1}-1)^2=2^{m+1}.a^{m+1}+(a^{m+1}-1)^2$$

Suy ra BĐT (1) cũng đúng với $n=m+1$, vậy BĐT đúng với mọi $n\geq3$

Đẳng thức xảy ra khi $a=1$ hay $x=y$

Tổng kết lại, BĐT đúng với mọi x, y dương và n nguyên dương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 28-11-2014 - 14:56