Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dung Du Duong: 22-11-2014 - 20:14
CMR:$\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{n} \geqslant 2^{n}x^{n}y^{n} + \left ( x^{n}+y^{n} \right )^{2}$
#1
Đã gửi 22-11-2014 - 19:29
- chieckhantiennu, chardhdmovies, dogsteven và 4 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 22-11-2014 - 20:12
Chứng minh rằng :$\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{n} \geqslant 2^{n}x^{n}y^{n} + \left ( x^{n}+y^{n} \right )^{2}$trong đó x,y là các số dương và n là số nguyên dương.
Sai với $a=b=n=1$
- Dung Du Duong yêu thích
It is the quality of one's convictions that determines success, not the number of followers
#3
Đã gửi 22-11-2014 - 20:15
#4
Đã gửi 28-11-2014 - 14:47
Chứng minh rằng :$\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{n} \geqslant 2^{n}x^{n}y^{n} + \left ( x^{n}-y^{n} \right )^{2}$trong đó x,y là các số dương và n là số nguyên dương.
Chưa nghĩ ra cách trực tiếp nên sài tạm cách Quy nạp
Dễ thấy với $n=1$ hoặc $n=2$, BĐT đúng với mọi $x,y$ dương
Với $n\geq 3$ chia hai vế cho $y^{2n}$ rồi đặt ẩn, ta được BĐT $(a^2+1)^n\geq 2^n.a^n+(a^n-1)^2$ (1)
Với n=3, BĐT tương đương $a^4+a^2\geq2a^3$ đúng
----------------------------------------------------------
Ta chứng minh bổ đề $(a^2+1)(a^{n}-1)^2\geq (a^{n+1}-1)^2$ với mọi $n\geq3$
Bổ đề tương đương
$(a^2+1).(a^n-1)^2\geq \left [ a(a^n-1)+(a-1) \right ]^2$
$\Leftrightarrow a^2.(a^n-1)^2+(a^n-1)^2\geq a^2.(a^n-1)^2+2a(a-1)(a^n-1)+(a-1)^2$
$\Leftrightarrow (a^n-1)^2-2.a(a-1).(a^n-1)+a^2(a-1)^2-a^2(a-1)^2-(a-1)^2\geq0$
$\Leftrightarrow \left [ (a^n-1)-a(a-1) \right ]^2-(a-1)^2(a^2+1)\geq 0$
$\Leftrightarrow (a-1)^n.(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a^2+a+1-a)^2-(a-1)^2(a^2+1)\geq 0$
$\Leftrightarrow (a-1)^2.\left [ (a^{n-1}+a^{n-2}+...+a^2+1)^2-(a^2+1) \right ]\geq 0$
Vì $n\geq3$ nên $(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a^2+1)^2-(a^2+1)\geq (a^2+1)^2-(a^2+1)=(a^2+1).a^2\geq 0$
Vậy bổ đề đúng với mọi $n\geq3$
-------------------------------------------------------------
Quay lại BĐT (1)
Giả sử BĐT đúng với mọi $n=m\geq3$
$$(a^2+1)^m\geq 2^m.a^m+(a^m-1)^2$$
Suy ra $$(a^2+1)^{m+1}=(a^2+1).(a^2+1)^m\geq (a^2+1).\left [ 2^m.a^m+(a^m-1)^2 \right ]$$
$$=(a^2+1).2^m.a^m+(a^2+1).(a^m-1)^2\geq 2a.2^m.a^m+(a^{m+1}-1)^2=2^{m+1}.a^{m+1}+(a^{m+1}-1)^2$$
Suy ra BĐT (1) cũng đúng với $n=m+1$, vậy BĐT đúng với mọi $n\geq3$
Đẳng thức xảy ra khi $a=1$ hay $x=y$
Tổng kết lại, BĐT đúng với mọi x, y dương và n nguyên dương
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 28-11-2014 - 14:56
- shinichikudo201 và Dung Du Duong thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh