Chủ đề này có 11 trả lời

[laquochiep3665]

a) cho biểu thức : A=$\frac{x^2+2x+3}{(x+2)^2}$

tìm Min A

b)

 cho a,b,c>0

 chứng minh bất đẳng thức M=$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9$

[Tran Nho Duc]

a) cho biểu thức : A=$\frac{x^2+2x+3}{(x+2)^2}$

tìm Min A

 

 Bạn có thể dùng pp miền giá trị ! 

Nhân chéo lên rồi tìm d/k có nghiệm của pt bậc 2 ẩn x, tham số A và tìm dc Min !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Nho Duc: 23-11-2014 - 12:16

[Viet Hoang 99]

a) cho biểu thức : A=$\frac{x^2+2x+3}{(x+2)^2}$

tìm Min A

b)

 cho a,b,c>0

 chứng minh bất đẳng thức M=$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9$

a)

Tích chéo lên coi nó là pt bậc 2 ẩn $x$, tính $\Delta \ge 0$ và giải ra Min

Cách 2:

$\frac{x^2+2x+3}{(x+2)^2}-\frac{2}{3}=\frac{(x-1)^2}{3(x+2)^2}\ge 0$

Vậy $A\ge \frac{2}{3}$, dấu bằng xảy ra khi $x=1$

b)

Áp dụng BĐT Cauchy

$\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\ge 3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=9$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$

[Tran Nho Duc]

b)

 cho a,b,c>0

 chứng minh bất đẳng thức M=$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9$

Ta có $\left\{\begin{matrix} a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc} & \\ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc}} & \end{matrix}\right. \Rightarrow (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9$

[laquochiep3665]

a) chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì số B = $111..11-222...2$ là một số chính phương

111..11( 2n)     222...2(n)

b) cho các số a,b,c thoả mãn a+b+c=1 . hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : C= $ab+2bc+3ca$

[le_hoang1995]

b) cho các số a,b,c thoả mãn a+b+c=1 . hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : C= $ab+2bc+3ca$

Thế $ c=1-a-b$ vào biểu thức, ta được:

$$C=ab+2b(1-a-b)+3a(1-a-b)=-3a^2-2b^2-4ab+3a+2b$$ $$=-2.\left ( b+a-\frac{1}{2} \right )^2-\left ( a-\frac{1}{2} \right )^2+\frac{3}{4}\leq \frac{3}{4}$$

Vậy $maxC=\frac{3}{4}$ khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix}
a=\frac{1}{2}\\ b=0
\\ c=\frac{1}{2}

\end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 23-11-2014 - 15:10

[hoanglong2k]

a) chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì số B = $111..11-222...2$ là một số chính phương

111..11( 2n)     222...2(n)

Đặt 111..1 ( n chữ số) =k nên 10^n=9k+1 ( chỗ này mình ko biết gõ LATEX thế nào )

Ta có $B=k.10^n+k-2k=k(9k+1)-k=(3k)^2$

Q.E.D

[shinichikudo201]

a) chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì số B = $111..11-222...2$ là một số chính phương

111..11( 2n)     222...2(n)

b) cho các số a,b,c thoả mãn a+b+c=1 . hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : C= $ab+2bc+3ca$

 

Thế $ c=1-a-b$ vào biểu thức, ta được:

$$C=ab+2b(1-a-b)+3a(1-a-b)=-3a^2-2b^2-4ab+3a+2b$$ $$=-2.\left ( b+a-\frac{1}{2} \right )^2-\left ( a-\frac{1}{2} \right )^2+\frac{3}{4}\leq \frac{3}{4}$$

Vậy $maxC=\frac{3}{4}$ khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix}
a=\frac{1}{2}\\ b=0
\\ c=\frac{1}{2}

\end{matrix}\right.$

Cách đơn giản hơn cho bài này:

$C=(ab+ac)+2(bc+ac)= a(b+c)+2c(a+b)\leq \frac{(a+b+c)^2}{4}+2\frac{(a+b+c)^2}{4}= \frac{3}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichikudo201: 23-11-2014 - 19:51

[duypro154]

Câu b dùng côsi là ra.Côsi bậc 3 thì c/m còn bậc 2 thì dùng thoải mái

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duypro154: 23-11-2014 - 21:36

[laquochiep3665]

a)chứng minh rằng

   $\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}> 10$

b)

rút gọn biểu thức

  A=$\frac{2^2-1}{2^2}*\frac{3^2-1}{3^2}*\frac{4^2-1}{4^2}*...*\frac{n^2-1}{n^2}$

[le_hoang1995]

a)chứng minh rằng

   $\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}> 10$

 

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxi, ta được

$$\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}>\frac{(1+...+1)^2}{\sqrt{1}+\sqrt{2}+...+\sqrt{100}}=\frac{100^2}{\sqrt{1}+\sqrt{2}+...+\sqrt{100}}>\frac{100^2}{\sqrt{100}+\sqrt{100}+...+\sqrt{100}}=\frac{100^2}{100.\sqrt{100}}=10$$

 

 

b)

rút gọn biểu thức

  A=$\frac{2^2-1}{2^2}*\frac{3^2-1}{3^2}*\frac{4^2-1}{4^2}*...*\frac{n^2-1}{n^2}$

Ta thấy $$\frac{2^2-1}{2^2}*\frac{3^2-1}{3^2}*\frac{4^2-1}{4^2}*...*\frac{n^2-1}{n^2}=\frac{1.3.2.4.3.5...(n-3).(n-1).(n-2).n.(n-1).(n+1)}{2^2.3^2...n^2}$$

$$=\frac{1.2.3^2.4^2...(n-3)^2.(n-2)^2.(n-1)^2.n.(n+1))}{2^2.3^2...n^2}=\frac{n+1}{2n}$$

[Phung Quang Minh]

a) cho biểu thức : A=$\frac{x^2+2x+3}{(x+2)^2}$
tìm Min A
b)
cho a,b,c>0
chứng minh bất đẳng thức M=$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9$

phần b): Ta có: (a+b+c).(1/a +1/b +1/c)= 3+(a/b +b/a)+ (b/c+c/b)+ (a/c+c/a) >= 3+2+2+2=9 (đpcm).
-Dấu "=" xảy ra khi a=b=c.