Chủ đề này có 2 trả lời

[Phan Thien]

cho f: $\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa f(f(n))+f(n)=2n+3, $\forall n thuộc \mathbb{N}$

tìm f(n)

[khanghaxuan]

Vì VT là một đa thức bậc 1 nên ta có $f(n)=an+b$ ( a,b là các tham số ) 

Thế vào PTH ta có : $n(a^{2}+a)+ab+2b=2n+3$

Tới đây áp dụng đồng nhất thức  : ta có : $\left\{\begin{matrix} a^{2}+a=2 & \\ ab+2b=3 & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=1 & \\ b=1 & \end{matrix}\right.$

Nên $f(n)=n+1$

Bây giờ ta cần chứng minh $f(n)$ là duy nhất . 

Dễ dàng chứng minh được $f(n)$ là đơn ánh . 

Thật vậy Giả sử có $n_{1}\neq n_{2}$ và $f(n_{1})=f(n_{2})$

Ta suy ra $f(f(n_{1}))=f(f(n_{2}))\Rightarrow 2n_{1}+3=2n_{2}+3\Rightarrow n_{1}=n_{2}$

Nên $ f(n)$ là đơn ánh .

Giả sử tồn tại một hàm số $g(n)$  thỏa ycdb nên tồn tại một giá trị $n_{0}$ để $g(n_{0})\neq f(n_{0})$

Ta cũng dễ dàng chứng mình được  $ g(n)$ là đơn ánh nên : 

$g(g(n_{0}))+g(n_{0})=f(f(n_{0}))+f(n_{0})\Rightarrow g(n_{0})=f(n_{0})$ ( vô lý ) 

Vậy $ f(n)=n+1$ là hàm số duy nhất thỏa đề bài . 

[Phan Thien]

Vì VT là một đa thức bậc 1 nên ta có $f(n)=an+b$ ( a,b là các tham số ) 

Thế vào PTH ta có : $n(a^{2}+a)+ab+2b=2n+3$

Tới đây áp dụng đồng nhất thức  : ta có : $\left\{\begin{matrix} a^{2}+a=2 & \\ ab+2b=3 & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=1 & \\ b=1 & \end{matrix}\right.$

Nên $f(n)=n+1$

Bây giờ ta cần chứng minh $f(n)$ là duy nhất . 

Dễ dàng chứng minh được $f(n)$ là đơn ánh . 

Thật vậy Giả sử có $n_{1}\neq n_{2}$ và $f(n_{1})=f(n_{2})$

Ta suy ra $f(f(n_{1}))=f(f(n_{2}))\Rightarrow 2n_{1}+3=2n_{2}+3\Rightarrow n_{1}=n_{2}$

Nên $ f(n)$ là đơn ánh .

Giả sử tồn tại một hàm số $g(n)$  thỏa ycdb nên tồn tại một giá trị $n_{0}$ để $g(n_{0})\neq f(n_{0})$

Ta cũng dễ dàng chứng mình được  $ g(n)$ là đơn ánh nên : 

$g(g(n_{0}))+g(n_{0})=f(f(n_{0}))+f(n_{0})\Rightarrow g(n_{0})=f(n_{0})$ ( vô lý ) 

Vậy $ f(n)=n+1$ là hàm số duy nhất thỏa đề bài . 

pn ơi cái chỗ:"$g(g(n_{0}))+g(n_{0})=f(f(n_{0}))+f(n_{0})\Rightarrow g(n_{0})=f(n_{0})$ ( vô lý ) " tại sao suy ra được $g(n_{0}=f(n_{0})$ vậy pn