cho f: $\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa f(f(n))+f(n)=2n+3, $\forall n thuộc \mathbb{N}$
tìm f(n)
cho f: $\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa f(f(n))+f(n)=2n+3, $\forall n thuộc \mathbb{N}$
tìm f(n)
Vì VT là một đa thức bậc 1 nên ta có $f(n)=an+b$ ( a,b là các tham số )
Thế vào PTH ta có : $n(a^{2}+a)+ab+2b=2n+3$
Tới đây áp dụng đồng nhất thức : ta có : $\left\{\begin{matrix} a^{2}+a=2 & \\ ab+2b=3 & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=1 & \\ b=1 & \end{matrix}\right.$
Nên $f(n)=n+1$
Bây giờ ta cần chứng minh $f(n)$ là duy nhất .
Dễ dàng chứng minh được $f(n)$ là đơn ánh .
Thật vậy Giả sử có $n_{1}\neq n_{2}$ và $f(n_{1})=f(n_{2})$
Ta suy ra $f(f(n_{1}))=f(f(n_{2}))\Rightarrow 2n_{1}+3=2n_{2}+3\Rightarrow n_{1}=n_{2}$
Nên $ f(n)$ là đơn ánh .
Giả sử tồn tại một hàm số $g(n)$ thỏa ycdb nên tồn tại một giá trị $n_{0}$ để $g(n_{0})\neq f(n_{0})$
Ta cũng dễ dàng chứng mình được $ g(n)$ là đơn ánh nên :
$g(g(n_{0}))+g(n_{0})=f(f(n_{0}))+f(n_{0})\Rightarrow g(n_{0})=f(n_{0})$ ( vô lý )
Vậy $ f(n)=n+1$ là hàm số duy nhất thỏa đề bài .
Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .
- A.Lincoln -Vì VT là một đa thức bậc 1 nên ta có $f(n)=an+b$ ( a,b là các tham số )
Thế vào PTH ta có : $n(a^{2}+a)+ab+2b=2n+3$
Tới đây áp dụng đồng nhất thức : ta có : $\left\{\begin{matrix} a^{2}+a=2 & \\ ab+2b=3 & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=1 & \\ b=1 & \end{matrix}\right.$
Nên $f(n)=n+1$
Bây giờ ta cần chứng minh $f(n)$ là duy nhất .
Dễ dàng chứng minh được $f(n)$ là đơn ánh .
Thật vậy Giả sử có $n_{1}\neq n_{2}$ và $f(n_{1})=f(n_{2})$
Ta suy ra $f(f(n_{1}))=f(f(n_{2}))\Rightarrow 2n_{1}+3=2n_{2}+3\Rightarrow n_{1}=n_{2}$
Nên $ f(n)$ là đơn ánh .
Giả sử tồn tại một hàm số $g(n)$ thỏa ycdb nên tồn tại một giá trị $n_{0}$ để $g(n_{0})\neq f(n_{0})$
Ta cũng dễ dàng chứng mình được $ g(n)$ là đơn ánh nên :
$g(g(n_{0}))+g(n_{0})=f(f(n_{0}))+f(n_{0})\Rightarrow g(n_{0})=f(n_{0})$ ( vô lý )
Vậy $ f(n)=n+1$ là hàm số duy nhất thỏa đề bài .
pn ơi cái chỗ:"$g(g(n_{0}))+g(n_{0})=f(f(n_{0}))+f(n_{0})\Rightarrow g(n_{0})=f(n_{0})$ ( vô lý ) " tại sao suy ra được $g(n_{0}=f(n_{0})$ vậy pn
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh