Chủ đề này có 3 trả lời

[MinhDucCay2000]

Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn $x+y+z=1$

Tìm GTNN: $F=\frac{x^4}{(x^2+y^2)(x+y)}+\frac{y^4}{(y^2+z^2)(y+z)}+\frac{z^4}{(z^2+x^2)(z+x)}$

[David le]

ta có $F\geq \frac{(\sum x^2)^2}{\sum(x^2+y^2)(1-z)}\geq \frac{\sum(x^2)^2}{2\sum x^2-\frac{\sum x(1-x)^2}{2}}$

$\frac{\sum(x^2)^2}{2\sum x^2-\frac{\sum x(1-x)^2}{2}}\geq \frac{\sum(x^2)^2}{3\sum x^2-5/9}\geq \frac{1}{4}$

do $\sum x^2\geq \frac {1}{3}, \sum x^3 \geq 1/9, x^2+y^2 \geq frac{x+y}{2}$

[kanashini]

Xét $A=\dfrac{x^4-y^4}{(x^2+y^2)(x+y)}+\dfrac{y^4-z^4}{(y^2+z^2)(y+z)}+\dfrac{z^4-x^4}{(z^2+x^2)(z+x)}=x-y+y-z+z-x=0$

 

$\Rightarrow 2F=\dfrac{x^4+y^4}{(x^2+y^2)(x+y)}+\dfrac{y^4+z^4}{(y^2+z^2)(y+z)}+\dfrac{z^4+x^4}{(z^2+x^2)(z+x)}$

 

Có $x^4+y^4 \ge \dfrac{(x^2+y^2)^2}{2}\ge \dfrac{(x^2+y^2)(x+y)^2}{4}$

 

$\Rightarrow \dfrac{x^4+y^4}{(x^2+y^2)(x+y)} \ge \dfrac{x+y}{4}$

 

$\Rightarrow 2F \ge \dfrac{x+y+y+z+z+x}{4}=\dfrac{1}{2}$

 

$\Rightarrow F \ge \dfrac{1}{4}$

[Dinh Xuan Hung]

 

Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn $x+y+z=1$

Tìm GTNN: $F=\frac{x^4}{(x^2+y^2)(x+y)}+\frac{y^4}{(y^2+z^2)(y+z)}+\frac{z^4}{(z^2+x^2)(z+x)}$

 

Ta có:$\frac{x^4}{(x^2+y^2)(x+y)}=\frac{x^2}{x+y}-\frac{x^2y^2}{(x^2+y^2)(x+y)}\geq \frac{x^2}{x+y}-\frac{x^2y^2}{2xy.2\sqrt{xy}}=\frac{x^2}{x+y}-\frac{\sqrt{xy}}{4}$.DBXR khi x=y

CMTT$\frac{y^4}{(y^2+z^2)(y+z)}\geq \frac{y^2}{y+z}-\frac{\sqrt{yz}}{4}$.DBXR khi y=z

$\frac{z^4}{(z^2+x^2)(x+z)}\geq \frac{z^2}{x+z}-\frac{\sqrt{xz}}{4}$.DBXR khi x=z

$\Rightarrow \sum \frac{x^4}{(x^2+y^2)(x+y)}\geq \sum \frac{x^2}{y+z}-\sum \frac{\sqrt{xy}}{4}$.DBXR khi x=y=z(1)

Ta có:$\sum \frac{x^2}{y+z}\geq \frac{(\sum x)^2}{2(x+y+z)}= \frac{1}{2}$DBXR khi x=y=z=$\frac{1}{3}$(2)(BDT BCS dạng engel)

$1=x+y+z\geq \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\Leftrightarrow -\sum \frac{\sqrt{xy}}{4} \geq -\frac{1}{4}$DBXR khi x=y=z=$\frac{1}{3}$(3)

(1)(2)(3)$\Rightarrow \sum \frac{x^4}{(x^2+y^2)(x+y)}\geq \frac{1}{4}$DBXR khi x=y=z=$\frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 05-12-2014 - 22:03