Đến nội dung

Hình ảnh

Khi nào hợp 2 modulo con là modulo con?


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
diepnguyensp

diepnguyensp

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 11 Bài viết

Giúp mình với..
1.Khi nào hợp 2 modulo con là modulo con?
2.giả sử f: R->S là đồng cấu vành. M là S-modulo. với điều kiện nào thì M là R-modulo?
3.Ví dụ về G giao (H+K) khác (G giao H) + (G giao K), G,H,K là các modulo con của M



#2
fghost

fghost

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

Gọi $M$ là module trên vành $R$. 

1. Nếu $M=R$, thì submodule của $M$ đơn giản chỉ là ideal của $R$. Hợp của 2 ideals là ideal khi ideal này nằm trong ideal kia. Giả sử $N, N'$ là 2 submodules của $M$, và $N \cup N'$ lại là submodule của $M$. Ta muốn chứng minh $N \subset N'$ hay $N' \subset N$. Giả sử, $N \not\subset N'$ tức là tồn tại $x \in N$ và $x \notin N'$. Ta muốn với mọi $y \in N'$, $y \in N$. Để xem $x +y \in N \cup N'$, nên $x+y \in N$ hay $x+y \in N'$. Rõ ràng nếu $x+y \in N'$, thì $x = (x+y)-y \in N'$ mâu thuẫn. Nên $x+y \in N$. Vì vậy, $y= (x+y) -x \in N$. 

 

2. Cho $\varphi: R \rightarrow S$. Nếu $M$ là module trên $S$, thì $M$ là module trên $R$, với action của $R$ trên $M$ được định nghĩa như sau $r \in R$, $x \in M$, $r.x = \varphi(r ).x$. $M$ luôn luôn là $R$-module.

 

3. Để xem, $M= R[X,Y]$ là vành đa thức với hệ số trên vành $R$ bất kì, cũng là module trên $R$. Chọn $H=(X), K=(Y), G=(X+Y)$. Ta thấy $H+K=(X)+(Y)=(X,Y)$, nên $G \cap (H+K)= (X+Y)=G$, trong khi đó, $G \cap K=\emptyset$, $G \cap H= \emptyset$, nên $(G \cap K) + (G \cap H)= \emptyset$



#3
diepnguyensp

diepnguyensp

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 11 Bài viết
M=R[X,Y] là vành đa thức với hệ số trên vành R bất kì, cũng là module trên R. Chọn H=(X),K=(Y),G=(X+Y). Ta thấy H+K=(X)+(Y)=(X,Y), nên G∩(H+K)=(X+Y)=G, trong khi đó, G∩K=∅, G∩H=∅, nên (G∩K)+(G∩H)=∅
tại sao G∩K=∅, G∩H=∅ vậy bạn?


#4
fghost

fghost

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

 

M=R[X,Y] là vành đa thức với hệ số trên vành R bất kì, cũng là module trên R. Chọn H=(X),K=(Y),G=(X+Y). Ta thấy H+K=(X)+(Y)=(X,Y), nên G∩(H+K)=(X+Y)=G, trong khi đó, G∩K=∅, G∩H=∅, nên (G∩K)+(G∩H)=∅
tại sao G∩K=∅, G∩H=∅ vậy bạn?

 

 

A, mình ghi sai rồi. $G \cap K= (X+Y) \cap (X)$ dĩ nhiên không phải tập rỗng (như $X(X+Y) \in G \cap K$). Mình nghĩ nó rỗng thì sẽ dễ, nếu không phải đi chứng minh 1 chút. 

 

Ta thấy, $G \cap (H+K)= (X+Y)$, nên $X+Y \in G \cap (H+K)$. Còn vế phải, ta cần chứng minh $X+Y \notin (G\cap H) + (G \cap K)$. Giả sử điều ngược lại, tức là $X+Y= r_1 \alpha + r_2 \beta$ với $\alpha \in G \cap H$ và $\beta \in G \cap K$ và $r_i \in R$. Vì $\alpha \in G \cap H$ nên $\alpha= U X(X+Y)$ với $U \in M$, tương tự $\beta= VY(X+Y)$ với $V \in M$. Như vậy

$$X+Y= r_1 U X(X+Y)+r_2 V(X+Y)= (X+Y)(r_1UX+ r_2VY) \Rightarrow (X+Y)(1-r_1UX-r_2VY)=0$$

 

Đến đây ta muốn nói 1 trong 2 nhân tử phải bằng $0$, nhưng để có điều này ta cần $M=R[X,Y]$ là 1 integral domain, vì vậy ngay từ ban đầu, ta chọn $R$ là 1 integral domain (như $R=Z$, hay $R$ là trường số hữu tỷ). Với giả thuyết đó, và ta biết $X+Y \ne 0$, nên $r_1UX+r_2VY=1$, điều này không thể xảy ra vì $r_1UX$ và $r_2VY$ không có hệ số tự do (hạng tử có bậc nhỏ nhất có thể của $r_1UX$ là $X$, và của $r_2UY$ là $Y$, tổng hay hiệu của 2 đa thức này sẽ có bậc nhỏ nhất là $X$ hay $Y$ hay hệ số tự do là $0$ chứ không thể là $1$). Mâu thuẫn, và ta có đpcm.

 

Mình nghĩ có lẽ có ví dụ dễ thấy hơn nhưng mình không nghĩ ra.



#5
diepnguyensp

diepnguyensp

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 11 Bài viết

A, mình ghi sai rồi. $G \cap K= (X+Y) \cap (X)$ dĩ nhiên không phải tập rỗng (như $X(X+Y) \in G \cap K$). Mình nghĩ nó rỗng thì sẽ dễ, nếu không phải đi chứng minh 1 chút. 

 

Ta thấy, $G \cap (H+K)= (X+Y)$, nên $X+Y \in G \cap (H+K)$. Còn vế phải, ta cần chứng minh $X+Y \notin (G\cap H) + (G \cap K)$. Giả sử điều ngược lại, tức là $X+Y= r_1 \alpha + r_2 \beta$ với $\alpha \in G \cap H$ và $\beta \in G \cap K$ và $r_i \in R$. Vì $\alpha \in G \cap H$ nên $\alpha= U X(X+Y)$ với $U \in M$, tương tự $\beta= VY(X+Y)$ với $V \in M$. Như vậy

$$X+Y= r_1 U X(X+Y)+r_2 V(X+Y)= (X+Y)(r_1UX+ r_2VY) \Rightarrow (X+Y)(1-r_1UX-r_2VY)=0$$

 

Đến đây ta muốn nói 1 trong 2 nhân tử phải bằng $0$, nhưng để có điều này ta cần $M=R[X,Y]$ là 1 integral domain, vì vậy ngay từ ban đầu, ta chọn $R$ là 1 integral domain (như $R=Z$, hay $R$ là trường số hữu tỷ). Với giả thuyết đó, và ta biết $X+Y \ne 0$, nên $r_1UX+r_2VY=1$, điều này không thể xảy ra vì $r_1UX$ và $r_2VY$ không có hệ số tự do (hạng tử có bậc nhỏ nhất có thể của $r_1UX$ là $X$, và của $r_2UY$ là $Y$, tổng hay hiệu của 2 đa thức này sẽ có bậc nhỏ nhất là $X$ hay $Y$ hay hệ số tự do là $0$ chứ không thể là $1$). Mâu thuẫn, và ta có đpcm.

 

Mình nghĩ có lẽ có ví dụ dễ thấy hơn nhưng mình không nghĩ ra.

 

A, mình ghi sai rồi. $G \cap K= (X+Y) \cap (X)$ dĩ nhiên không phải tập rỗng (như $X(X+Y) \in G \cap K$). Mình nghĩ nó rỗng thì sẽ dễ, nếu không phải đi chứng minh 1 chút. 

 

Ta thấy, $G \cap (H+K)= (X+Y)$, nên $X+Y \in G \cap (H+K)$. Còn vế phải, ta cần chứng minh $X+Y \notin (G\cap H) + (G \cap K)$. Giả sử điều ngược lại, tức là $X+Y= r_1 \alpha + r_2 \beta$ với $\alpha \in G \cap H$ và $\beta \in G \cap K$ và $r_i \in R$. Vì $\alpha \in G \cap H$ nên $\alpha= U X(X+Y)$ với $U \in M$, tương tự $\beta= VY(X+Y)$ với $V \in M$. Như vậy

$$X+Y= r_1 U X(X+Y)+r_2 V(X+Y)= (X+Y)(r_1UX+ r_2VY) \Rightarrow (X+Y)(1-r_1UX-r_2VY)=0$$

 

Đến đây ta muốn nói 1 trong 2 nhân tử phải bằng $0$, nhưng để có điều này ta cần $M=R[X,Y]$ là 1 integral domain, vì vậy ngay từ ban đầu, ta chọn $R$ là 1 integral domain (như $R=Z$, hay $R$ là trường số hữu tỷ). Với giả thuyết đó, và ta biết $X+Y \ne 0$, nên $r_1UX+r_2VY=1$, điều này không thể xảy ra vì $r_1UX$ và $r_2VY$ không có hệ số tự do (hạng tử có bậc nhỏ nhất có thể của $r_1UX$ là $X$, và của $r_2UY$ là $Y$, tổng hay hiệu của 2 đa thức này sẽ có bậc nhỏ nhất là $X$ hay $Y$ hay hệ số tự do là $0$ chứ không thể là $1$). Mâu thuẫn, và ta có đpcm.

 

Mình nghĩ có lẽ có ví dụ dễ thấy hơn nhưng mình không nghĩ ra.

mình không hiểu lắm. bạn có thể nói rõ hơn được không? (X) (Y) là kí hiệu cho gì? mình hiểu là các module con của M mà phần tử của nó là những đa thức một biến có đúng không vậy? nếu đúng thì đến đoạn nên anpha=... lại không hiểu? và sao phương trình trên  lại biến đổi đại số được vậy? đó là các tập hợp?


#6
fghost

fghost

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

$(X)$ là ideal của $M$ sinh ra bởi $X$, là tập hợp những đa thức trên biến $X,Y$, và chia hết cho $X$

 

$(X,Y)$ là ideal của $M$ sinh ra bởi $X, Y$, là tập hợp những đa thức trên biến $X,Y$, và không có hệ số tự do.

 

$(X+Y)$ là ideal của $M$ sinh ra bởi $X+Y$, là tập hợp những đa thức trên biến $X,Y$, và chia hết cho $X+Y$.

 

Bạn hiểu gần đúng rồi, nó là những module con mà phần tử của nó là những đa thức trên biến $X, Y$,  với 1 vài điều kiên như trên, chứ không chỉ bao gồm những đa thức 1 biến.

 

Vì $\alpha \in G \cap H= (X+Y) \cap (X)$, nên $\alpha$ phải thuộc $(X+Y)$ và thuộc cả $(X)$, tức là $\alpha$ là 1 đa thức trên biến $X, Y$ chia hết cho $X+Y$ và phải chia hết cho $X$, nên nó phải có dạng $UX(X+Y)$ với $U$ là 1 đa thức nào đó trong $R[X,Y]$.






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh