Cho $f(x)$ là hàm liên tục đều trên $[0;+\infty )$ thỏa mãn $\lim_{n\rightarrow +\infty }f(a+n)=0$ với mọi $a > 0$
CMR $\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=0$
Cho $f(x)$ là hàm liên tục đều trên $[0;+\infty )$ thỏa mãn $\lim_{n\rightarrow +\infty }f(a+n)=0$ với mọi $a > 0$
CMR $\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=0$
Cho $f(x)$ là hàm liên tục đều trên $[0;+\infty )$ thỏa mãn $\lim_{n\rightarrow +\infty }f(a+n)=0$ với mọi $a > 0$
CMR $\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=0$
Mình làm hơi hình thức vì sợ sai. Bài này có lần mình post lên rồi hay sao ấy. Thấy quen quen.
Cho trước $\epsilon>0$. Do f liên tục đều nên tồn tại $\delta > 0$ sao cho với mọi x y ta có:
$$|x-y|< 2\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|< \frac{\epsilon}{2}$$
Đặt $x_{kn}=n+k\delta$. Ta phân tích đoạn $[n,n+1]$ như sau:
$$[n,n+1]=\bigcup_{k=0}^{[\frac{1}{\delta}]-1}[x_{kn},x_{k+1n}]\cup[x_{[\frac{1}{\delta}]n},x_{0n+1}]$$
Dễ thấy các đoạn con này có độ dài không quá $\delta$
Từ giả thiết ta có: $\lim f(x_{kn})=0$. Do đó với mỗi k, tồn tại $N_k$ sao cho với mọi $n \geq N_k$:
$$f(x_{kn}) \leq \frac{\epsilon}{2}$$
Chọn M=max{$N_k|0\leq k \leq [\frac{1}{\delta}]$}. Khi đó với mọi $x \geq M$ tồn tại $n\geq M$ sao cho $x\in [n,n+1]$. Theo trên tồn tại $k$ sao cho $x \in [x_{kn},x_{k+1n}]$ hoặc $[x_{kn},x_{0n+1}]$. Dẽ thấy rằng khi đó $|x-x_{kn}| \leq \delta<2\delta$ và $n \geq M \geq N_k$. Từ đó:
$$|f(x)|\leq |f(x)-f(x_{kn})|+|f(x_{kn})| < \epsilon$$.
Từ đây ta được $\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=0$.
Khi đó với mọi $x \geq M$ tồn tại $n\geq M$ sao cho $x\in [n,n+1]$.
Anh giải thích kĩ chỗ này giúp e với ạ !!!!
À e hiểu rồi ạ. Chắc là do áp dụng nguyên lí Archimède
Thank you a nhé !!!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thuylinh_909: 26-11-2014 - 09:29
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh