Chủ đề này có 10 trả lời

[thuylinh_909]

Cho $f$ khả vi trên $[0;+\infty )$ thỏa $f(0)=0$ và $\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=0$

CMR tồn tại c sao cho  $c>0: f'( c )=0$

[Nxb]

Từ f khả vi ta có f liên tục trên đó.

Ta giả sử $f'(x) \neq 0$ với mọi x thuộc khoảng đó. Từ định lý Lagrange ta dễ dàng suy ra f là đơn ánh. Ta chứng minh f là đơn điệu. Giả sử f không phải hàm đơn điệu. Không giảm tổng quát ta giả sử tồn tại a bé hơn b bé hơn c thỏa mãn f(b) bé hơn f(a) bé hơn f(c). Do f liên tục trên đoạn từ b đến c nên tồn tại $x_0$ sao cho $f(x_0)=f(a)$ (và ta có $x_0 \neq a$). Điều này trái với f là đơn ánh nên ta có f là đơn điệu. Do f đơn điệu và $\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)=0$ nên ta có f=0. Điều này trái với f đơn ánh. Như vậy tồn tại c sao cho f(c)=0.

[fghost]

Chứng minh bằng hình vẽ được không bạn? 

 

Ta chỉ cần chứng minh $f$ tồn tại cực trị là xong, vì đạo hàm bậc nhất ở cực trị là $0$. 

 

Ta thấy $f$ khả vi, nên liên tục trên toàn miền. Nên $f$ tồn tại cực trị trên mọi $[0, N]$ với $N$ bất kì. Để xem, gọi $\alpha$ là cực đại của $f$ trên $[0,1]$.

 

Nếu $\alpha > 0$, thì do $\lim f=0$, nên $|f| < \alpha$ với mọi $x > N_\alpha$ nào đó. Trên $[0, N_\alpha]$, $f$ tồn tại cực đại $\alpha'$. Vì vậy $|f| \leq max\{\alpha, \alpha'\}$ trên toàn miền $[0, \infty)$, và vì chặn trên đó chỉ có thể là $\alpha$ hay $\alpha'$, nên đó cũng là cực đại của $f$ (tức là tồn tại $x \in [0, \infty)$ sao cho $f$ đạt cực đại đó).

 

Nếu $\alpha \leq 0$, gọi $\beta$ là cực tiểu của $f$ trên $[0,1]$, vì cực đại $\alpha$ trên $[0,1]$ nhỏ hơn $0$, nên $|\beta|> |\alpha|$. Vì lý do $\lim f=0$, nên $|f| < |\beta|$ với mọi $x > N_\beta$ nào đó. Trên $0, N_\beta]$, ta cũng có cực tiểu $\beta'$. Nên $|f| \leq max\{|\beta|, |\beta'|\}$ trên toàn miền $[0, \infty)$. Và cùng nguyên nhân trên mà $f$ cũng tồn tại cực tiểu.

 

Ah ha, nhưng nếu $\beta=\alpha=0$ thì sao? Vì vậy ngay từ đầu, ta nên làm như sau. Gọi $r=\sup\{x \in [0, \infty): \sup(f) = \inf(f) \text{ trên } [0,x]\}$. Sau đó gọi $\alpha$ là cực đại của $f$ trên $[0,r+1]$. Dễ thấy tập hợp mà ta lấy supremum không rỗng, $0$ nằm trong tập hợp đó, và bị chặn trên (nếu không bị chặn trên, thì $r= \infty$, và $f$ là hàm hằng nên bằng $0$ trên toàn miền $[0, \infty)$).

[quangbinng]

Cho $f$ khả vi trên $[0;+\infty )$ thỏa $f(0)=0$ và $\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=0$

CMR tồn tại c sao cho  $c>0: f'( c )=0$

 

Định nghĩa giới hạn hàm số khi $x \to x_0$ là :

 

Cho hàm số $f(x)$ với $x \in (a,b)$ và điểm $x_0 \in (a,b)$. Ta nói $f(x)$ có giới hạn $l$ khi $x$ dần đến $x_0$ và viết $\lim_{x \to x_0} f(x)=l$ nếu: $\forall \epsilon >0, \exists \delta >0, \forall x \in (a,b): 0<|x-x_0|<\delta$ thì $|f(x)-l|<\epsilon$

 

Định nghĩa giới hạn hàm số khi $x \to \infty$ là: ( cũng tương tự)

 

Cho hàm số $f(x),x \in (a, +\infty).$ Ta nói $f(x)$ có giới hạn $l$ khi $x$ dần ra $+\infty$ (hoặc tại $x=+\infty$), và viết $\lim_{x \to +\infty} f(x)=l$ nếu :

$\forall \epsilon>0 ,\exists A>a ,\forall x>A,|f(x)-l|<\epsilon$

gọi $f(2014)=k$  

Ta sử dụng định nghĩa vừa nêu với $\epsilon=|\frac{k}{2}|$ thì $\exists A>0 ,\forall x>A,|f(x)-0|<|\frac{k}{2}|$ 

Dễ thấy rằng $ A \ge 2014$ vì nếu không $A<2014$ thì với $x=2014$ sẽ có $|f(x)|=|k|<|\frac{k}{2}|$ (vô lí)

 

Nếu $k=0$ thì $f(0)=0,f(2014)=0$ sử dụng định lí Rolle ta có đpcm.

Giả sử $k$ âm, $k$ dương làm tương tự

Lấy một số $x_0>A$ bất kì thì ta có trong khoảng đóng liên tục $[2014,x_0]$ có $f(2014)=k,f(x_0)>-|k/2|$ tức là $-|k/2| \in [f(2014),f(x_0)]$ , theo tính chất của hàm liên tục, sẽ có $2014<x_1<x_0$ sao cho $f(x_1)=-|k/2|$

Nhưng ta cũng có $k<-|k/2|<0$ hay $-|k/2| \in [f(2014),f(0)]$ nên tồn tại $0<x_2<2014$ sao cho $f(x_2)=-|k/2|$ 

 

Như vậy $x_1,x_2$ nằm 2 bên $2014$ và có giá trị bằng nhau nên theo định lí Rolle tồn tại $c \in (x_2,x_1)$ sao cho $f'(c)=0$

[fghost]

Do f đơn điệu và $\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)=0$ nên ta có f=0. Điều này trái với f đơn ánh. Như vậy tồn tại c sao cho f(c)=0.

 

do $f$ đơn điệu và $f(0)=0$, và $lim f(x)=0$, nên ta có $f=0$. 

 

điều này đúng, nhưng để ghi ra hết hình như không ngắn lắm. 

[Nxb]

do $f$ đơn điệu và $f(0)=0$, và $lim f(x)=0$, nên ta có $f=0$. 

 

điều này đúng, nhưng để ghi ra hết hình như không ngắn lắm. 

Ta có $0\leq f \leq lim f$ hoặc ngược lại do ta biết giới hạn của hàm đơn điệu là inf.hoặc sup. Nếu mà học về cái đó rồi thì có thể nhìn nhanh. Mình cũng không định ghi hết ra mọi thứ.   

[fghost]

Ta có $0\leq f \leq lim f$ hoặc ngược lại do ta biết giới hạn của hàm đơn điệu là inf.hoặc sup. Nếu mà học về cái đó rồi thì có thể nhìn nhanh. Mình cũng không định ghi hết ra mọi thứ.   

 

ah, mình quên limit của hàm đơn điệu là inf hay sup. Sử dụng cái đó thì đúng là nhanh thật.

[quangbinng]

ah, mình quên limit của hàm đơn điệu là inf hay sup. Sử dụng cái đó thì đúng là nhanh thật.

 

học những cái này ở đâu ạ, các anh có thể gửi lên tài liệu nào về giải tích và đầy đủ các kiến thức được không ạ.

[fghost]

học những cái này ở đâu ạ, các anh có thể gửi lên tài liệu nào về giải tích và đầy đủ các kiến thức được không ạ.

 

hình như đó chỉ là 1 kết quả trực tiếp của hàm đơn điều thôi thì phải. có lẽ trong sách giải tích cơ bản nào cũng có. 

 

nếu muốn bạn cũng có thể chứng minh đấy, chỉ dùng định nghĩa của sup, inf và hàm đơn điệu (có lẽ cần điều kiện liên tục)

[quangbinng]

hình như đó chỉ là 1 kết quả trực tiếp của hàm đơn điều thôi thì phải. có lẽ trong sách giải tích cơ bản nào cũng có. 

 

nếu muốn bạn cũng có thể chứng minh đấy, chỉ dùng định nghĩa của sup, inf và hàm đơn điệu (có lẽ cần điều kiện liên tục)

với cái phần sup với inf thầy em chỉ dạy cho biết thôi @@, chưa làm bài tập có sup với inf bao giờ nên đến giờ em vẫn ko hiểu cái đó lắm

[fghost]

với cái phần sup với inf thầy em chỉ dạy cho biết thôi @@, chưa làm bài tập có sup với inf bao giờ nên đến giờ em vẫn ko hiểu cái đó lắm

 

bạn thử chứng minh với $f$ liên tục, đơn điệu tăng (đồng biến), thì $\lim f(x)= \sup\{f(x)\}$ (có lẽ không cần điều kiện liên tục), trên 1 miền $A$ nào đó. Bạn có thể bắt đầu bằng gọi $L= \sup\{f(x)\}$, sau đó dùng định nghĩa của supremum: với mọi $\varepsilon >0$, ta có tồn tại $x_0$ nào đó sao cho $f(x_0)> L - \varepsilon$. Sau đó dùng đơn điệu (và nhận xét $f$ bị chặn trên bởi $L$), để thấy $L$ là limit của $f$.