Chủ đề này có 1 trả lời

[hoctrocuanewton]

Cho : $a,b,c\epsilon \begin{bmatrix} 0;1 \end{bmatrix}$ . Tìm Min của :

$P=(1+abc)(\sum \frac{1}{1+a^{3}})$

[25 minutes]

Cho : $a,b,c\epsilon \begin{bmatrix} 0;1 \end{bmatrix}$ . Tìm Min của :

$P=(1+abc)(\sum \frac{1}{1+a^{3}})$

Kí hiệu $P=f(a,b,c)$

Do vai trò như nhau nên ta có thể giả sử $a$ là số nhỏ nhất trong $a,b,c$

Xét hiệu $f(a,b,c)-f(0,b,c)=\frac{1}{1+a^3}+abc(\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3})-1\geqslant 0$

$\Leftrightarrow abc(\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3})\geqslant 1 -\frac{1}{1+a^3}=\frac{a^3}{1+a^3}$

$\Leftrightarrow (\frac{abc}{1+a^3}-\frac{a^3}{1+a^3}+(\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3})\geqslant 0$

BĐT trên luôn đúng do giả sử

Vậy ta cần chứng minh $f(0,b,c)\geqslant 2\Leftrightarrow 1+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}\geqslant 2$

Do $b,c \leqslant 1$ nên $1+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}\geqslant 1+\frac{1}{1+1^3}+\frac{1}{1+1^3}=2$

Vậy GTNN của $P$ là $2$, đạt được khi $(a,b,c)=(0,1,1)$ và hoán vị