Chủ đề này có 13 trả lời

[thuylinh_909]

Cho hệ phương trình tuyến tính 

 

$\left\{\begin{matrix} a_{11}x_{1}+...+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\ ...\\ a_{n1}x_{1}+...+a_{nn}x_{n}=b_{n} \end{matrix}\right.$

 

Trong đó $a_{ij}$ và $b_{k}$ $\in \mathbb{Z}$

Tìm điều kiện của $a_{ij}$ để hệ pt trên có nghiệm nguyên với mọi $b_{k}$ nguyên

[quangbinng]

Cho hệ phương trình tuyến tính 

 

$\left\{\begin{matrix} a_{11}x_{1}+...+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\ ...\\ a_{n1}x_{1}+...+a_{nn}x_{n}=b_{n} \end{matrix}\right.$

 

Trong đó $a_{ij}$ và $b_{k}$ $\in \mathbb{Z}$

Tìm điều kiện của $a_{ij}$ để hệ pt trên có nghiệm nguyên với mọi $b_{k}$ nguyên

 

Trước tiên chứng minh được ma trận hệ là ma trận không suy biến, thật vậy, giả sử nó không suy biến thì sẽ tồn tại một vài hệ phụ thuộc tuyến tính với nhau, khi đó có thể chọn các giá trị $b_i$ để làm mâu thuẫn các hệ đó và suy ra pt vô nghiệm. Như vậy để pt có nghiệm thì $A$ phải khả nghịch.

 

Sử dụng quy tắc Cramer để tìm nghiệm có công thức là : $x_i=\frac{D_i}{D}$

với $D_i$ là định thức của ma trận nếu ta bỏ cột $i$ của ma trận hệ và thay vào đó là cột $b_k$ và $D$ là định thức ma trận hệ

 

Nhận xét rằng : để các nghiệm nguyên thì ta phải có $\frac{D_i}{D}$ nguyên.

 

Nếu ta có $b_1=1$ và $b_2=b_3=...=b_k=0$ thì $D_i$ lúc này sẽ trở thành phần bù số của $a_{1i}$

lần tiếp theo ta cho $b_1=0$, $b_2=1,b_3=b_4=..b_k=0$ thì $D_i$ sẽ trở thành phần bù đại số của $a_{2i}$

cứ làm như vậy... ta sẽ suy ra được $ \frac{D_x}{D}$ sẽ là số  nguyên với $D_x$ là phần bù đại số bất kì.

 

mà lại có 

 

$A^{-1}= \begin{bmatrix} D_{11}/D &D_{21}/D &... & D_{n1}/D \\ D_{12}/D &D_{22}/D &...& D_{n2}/D \\ ...&...&...&...\\ D_{1n}/D &D_{2n}/D &...&D_{nn}/D \end{bmatrix}$

 

nên $A^{-1}$ có mọi phần tử là các số nguyên , tức là $det A^{-1} \in \mathbb{Z}$.

 

Nhưng $1=det(E)=det(A^{-1} A)=det(A^{-1}).det(A)$ . 2 số nguyên có tích bằng 1 nên chúng chỉ có thể là $\{1,-1\}$

 

Và $det A \in \{1,-1\}$ cũng  là điều kiện đủ để pt có nghiệm nguyên với mọi $b_k$ nguyên. 

[thuylinh_909]

Trước tiên chứng minh được ma trận hệ là ma trận không suy biến, thật vậy, giả sử nó không suy biến thì sẽ tồn tại một vài hệ phụ thuộc tuyến tính với nhau, khi đó có thể chọn các giá trị $b_i$ để làm mâu thuẫn các hệ đó và suy ra pt vô nghiệm. Như vậy để pt có nghiệm thì $A$ phải khả nghịch.

 

 

Chỗ này cụ thể thế nào ạ. Anh giải thích kĩ hơn được không ạ ??

Nếu nó suy biến tức det A =0 thì sao suy ra được tồn tại một vài hệ phụ thuộc tuyến tính ??

Mà một vài hệ phụ thuộc tuyến tính ở đây hiểu là hệ các vecto cột hoặc dòng ạ ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thuylinh_909: 28-11-2014 - 07:26

[quangbinng]

Chỗ này cụ thể thế nào ạ. Anh giải thích kĩ hơn được không ạ ??

Nếu nó suy biến tức det A =0 thì sao suy ra được tồn tại một vài hệ phụ thuộc tuyến tính ??

Mà một vài hệ phụ thuộc tuyến tính ở đây hiểu là hệ các vecto cột hoặc dòng ạ ?

 

 

Chỗ này cụ thể thế nào ạ. Anh giải thích kĩ hơn được không ạ ??

Với $A$ là ma trận hệ, thì  nếu $A$ suy biến thì hệ n vector hàng của nó phụ thuộc tuyến tính. tức là tồn tại các hệ số $\alpha_i$ ko đồng thời bằng không sao cho:

 

$\sum \alpha_ih_i=0$ với $h_i$ là các hàng. giả sử $\alpha_j \not=0$ thì $h_j= \frac{1}{\alpha_j} \sum_{i \not=j} \alpha_i h_i.$

 

Bây giờ ta chọn 1 bộ $b_i$ bất kì nhưng chưa chọn $b_j$ . sau đó ta tính $ \frac{1}{\alpha_j}\sum_{i \not=j} \alpha_i b_i= \frac{1}{\alpha_j}\sum_{i \not=j} \alpha_i h_i$

 

sau đó ta chọn $b_j$ khác giá trị này thì phương trình sẽ bị vô nghiệm, như vậy $A$ phải khả nghịch.

[thuylinh_909]

 Ý em là chỗ " Nếu A suy biến thì hệ n vecto hàng của nó phụ thuộc tuyến tính ''. Tại sao ạ ???

[quangbinng]

có định lí là : Hạng của ma trận bằng hạng của hệ vector hàng  , nếu A suy biến thì hạng của A  nhỏ hơn n do đó hạng n vector hàng sẽ nhỏ hơn n tức là n vector hàng phụ thuộc tuyến tính đó.

[Nxb]

có định lí là : Hạng của ma trận bằng hạng của hệ vector hàng  , nếu A suy biến thì hạng của A  nhỏ hơn n do đó hạng n vector hàng sẽ nhỏ hơn n tức là n vector hàng phụ thuộc tuyến tính đó.

Định nghĩa hạng của ma trận là hạng của hệ vector cột mà. 

[quangbinng]

Định nghĩa hạng của ma trận là hạng của hệ vector cột mà.

 

Thầy em dạy là vector hàng, nhưng mà cả 2 cùng đúng mà anh, vì $rank A=rank A^T$

[Nxb]

Thầy em dạy là vector hàng, nhưng mà cả 2 cùng đúng mà anh, vì $rank A=rank A^T$

Vấn đề là nó không phải định lý và cũng không giải thích được tại sao det=0 khi và chỉ khi hạng bé hơn n.

[quangbinng]

Vấn đề là nó không phải định lý và cũng không giải thích được tại sao det=0 khi và chỉ khi hạng bé hơn n.

 

Em cũng ko nhớ trong giáo trình trường em ghi là định lí hay hệ quả nữa ạ, em còn nhớ mang máng cái chứng có ghi là :

 

-ta viết ma trận ra, rồi nếu A không khả nghịch thì theo phương pháp tìm hạng Gauss, chỉ bằng phép biến đổi hàng, có thể đưa 1 số dòng cuối bằng không , số dòng khác không còn lại, chính là hạng của ma trận. 

-Theo cách làm đó thì dường như ta đã sử dụng 1 số vector hàng, cộng đi cộng lại với các hằng số để rút ra được bộ vector cơ sở của hệ sinh đó ( hệ sinh bởi các vector hàng)

-tại sao nó lại là cơ sở  thì vì nó tạo ra được các vector bị biến thành 0, cho nên nó tạo ra được toàn bộ không gian sinh. Ngoài ra nó độc lập tuyến tính do ( đã kết thúc các bước của phương pháp tìm hạng Gauss)

 

từ đó suy ra hạng của ma trận bằng hạng của hệ các vector hàng.

[thuylinh_909]

 

 ta sẽ suy ra được $ \frac{D_x}{D}$ sẽ là số  nguyên với $D_x$ là phần bù đại số bất kì.

 

 

 

Em vẫn chưa hiểu tại sao $\frac{D_{x}}{D}$ nguyên ạ ???

[Ballit]

kiến thức này lâu quá mình quên mất tiêu rồi, giờ muốn phải lục lại từ đầu, hicc

[quangbinng]

 

Em vẫn chưa hiểu tại sao $\frac{D_{x}}{D}$ nguyên ạ ???

 

 theo cramer thì đó là nghiệm, mà nghiệm thì phải nguyên ( do đề bài cho nghiệm  nguyên mà)

[thuylinh_909]

 À vâng đang cho nó nguyên để tìm đk của A.