Chủ đề này có 5 trả lời

[quangbinng]

Chứng minh nếu $rank(A)=r$ thì $rank(A A^T)=r$ với $A$ là ma trận vuông cấp $n$ và $A^{T}$ là ma trận chuyển vị của nó.

[ChangBietDatTenSaoChoDoc]

Ta chứng minh $rank \left ( A^*A \right )=rank A$, với $A^*$ là liên hợp chuyển vị của $A$ (nói riêng, trong trường hợp thực thì $A^*=A^T$).

Chỉ cần chứng minh $Ker A^*\cap Im A = 0$. Thật vậy, giả sử $v \in Ker A^*\cap Im A$, tức là $A^*v=0$ và $v=Aw$.

Khi đó

$\left \langle v,v \right \rangle = \left \langle Aw,v \right \rangle = \left \langle w,A^*v \right \rangle \left \langle w,0 \right \rangle=0 \Rightarrow v=0$.

($\left \langle \cdot , \cdot \right \rangle$ là tích vô hướng)

 

P/s: có nhiều cách chứng minh, mình quen dùng cách này.

[quangbinng]

Ta chứng minh $rank \left ( A^*A \right )=rank A$, với $A^*$ là liên hợp chuyển vị của $A$ (nói riêng, trong trường hợp thực thì $A^*=A^T$).

Chỉ cần chứng minh $Ker A^*\cap Im A = 0$. Thật vậy, giả sử $v \in Ker A^*\cap Im A$, tức là $A^*v=0$ và $v=Aw$.

Khi đó

$\left \langle v,v \right \rangle = \left \langle Aw,v \right \rangle = \left \langle w,A^*v \right \rangle \left \langle w,0 \right \rangle=0 \Rightarrow v=0$.

($\left \langle \cdot , \cdot \right \rangle$ là tích vô hướng)

 

P/s: có nhiều cách chứng minh, mình quen dùng cách này.

 

Bạn có thể gợi ý thêm các cách không ?, mình chưa học phần Euclide

[vo van duc]

Một bài toán khác có cùng một ý toán với bài này nhưng được diễn đạt một cách khác đã được thảo luận trên diễn đàn đã lâu như sau:

 

Chứng mình rằng một ma trận vuông khả nghịch khi và chỉ khi ma trận $A^TA$ khả nghịch.

 

Liên kết tại đây.

[quangbinng]

Một bài toán khác có cùng một ý toán với bài này nhưng được diễn đạt một cách khác đã được thảo luận trên diễn đàn đã lâu như sau:

 

Chứng mình rằng một ma trận vuông khả nghịch khi và chỉ khi ma trận $A^TA$ khả nghịch.

 

Liên kết tại đây.

 

Nhưng bài này dễ hơn bài em post mà anh, bài này chỉ là hệ quả thôi ạ @@

 

 

.........................................

@vo van duc: Xin lỗi! Tôi đọc nhầm đề!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 29-11-2014 - 14:51

[ChangBietDatTenSaoChoDoc]

Nói là tích vô hướng cho cao sang vậy chứ thực ra như thế này.

Ta cũng cần chứng minh $\ker A^T \cap Im A = 0$.

Giả sử $v=\left ( v_1, v_2, ..., v_n \right )^T$ thoả $A^Tv=0$ và $v=Aw$. Khi đó

$$\sum_{k=1}^{n} v_k^2=v^Tv=\left ( Aw \right )^Tv=w^TA^Tv=w^T.0=0$$

Do đó $v=0$. Nghĩa là với $x \in \ker \left ( A^TA \right )\Rightarrow Ax \in \ker A^T \Rightarrow x \in \ker A$. Hay $\ker \left ( A^TA \right ) \subset \ker A$. Khi đó

$$rank \left ( A^TA \right )=\dim Im \left ( A^TA \right )=n-\ker \left ( A^TA \right )\geq n-\ker A=rank A$$

Suy ra đpcm.