Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\exists i,j (1 \le i < j \le n)$ để $\frac{1}{2}\leq \left |\frac{x_i}{x_j} \right |\leq 2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 deathavailable

deathavailable

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 265 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Tất Thành - Yên Bái
  • Sở thích:Chơi game!!

Đã gửi 27-11-2014 - 20:19

Cho dãy số thực phân biệt $x_1, x_2, ... x_n$ sao cho $x_1+x_2+...+x_n=0$ với $n \ge 2$. 
Chứng minh $\exists i,j (1 \le i < j \le n)$  để $\frac{1}{2}\leq \left |\frac{x_i}{x_j}  \right |\leq 2$ 


Ế là xu thế mang tầm cỡ quốc tế của các cấp bậc vai vế

 


#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2158 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 27-09-2018 - 14:34

Cho dãy số thực phân biệt $x_1, x_2, ... x_n$ sao cho $x_1+x_2+...+x_n=0$ với $n \ge 2$. 
Chứng minh $\exists i,j (1 \le i < j \le n)$  để $\frac{1}{2}\leq \left |\frac{x_i}{x_j}  \right |\leq 2$ 

Giả sử không tồn tại $2$ số $i,j$ ($1\leqslant i< j\leqslant n$) sao cho $\frac{1}{2}\leqslant \left | \frac{x_i}{x_j} \right |\leqslant 2$ $\left ( ^\ast \right )$

Gọi giá trị tuyệt đối của $x_1,x_2,...,x_n$ theo thứ tự từ NHỎ đến LỚN là $a_1,a_2,...,a_n$

($0\leqslant a_1\leqslant a_2\leqslant ...\leqslant a_n$, trong đó $a_n=\left | x_m \right |$)

Từ điều giả sử $\left ( ^\ast \right )$, ta có :

$0\leqslant a_1< \frac{a_2}{2}< \frac{a_3}{2^2}< ...< \frac{a_n}{2^{n-1}}$

$\Rightarrow a_n> 2\ a_{n-1}> 2^2\ a_{n-2}> ...> 2^{n-1}\ a_1\geqslant 0$

$\Rightarrow a_n> a_{n-1}+a_{n-1}> a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-2}> a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}+a_{n-3}> ...> a_{n-1}+a_{n-2}+...+2\ a_1\geqslant a_{n-1}+a_{n-2}+...+a_1$

$\Rightarrow \left | x_1+x_2+...+x_n \right |=\left | x_m+\sum _{1\leqslant k\leqslant n,k\neq m}x_k \right |\geqslant \left | \left | x_m \right |-\left | \sum _{1\leqslant k\leqslant n,k\neq m}x_k \right | \right |\geqslant | a_n-(a_1+a_2+...+a_{n-1}) |$

     $=a_n-\sum_{k=1}^{n-1}a_k> 0$

Điều này mâu thuẫn với giả thiết $x_1+x_2+...+x_n=0$

Vậy điều giả sử $\left ( ^\ast \right )$ là sai

$\Rightarrow \exists i,j\ (1\leqslant i< j\leqslant n)$ sao cho $\frac{1}{2}\leqslant \left | \frac{x_i}{x_j} \right |\leqslant 2$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 27-09-2018 - 14:48

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3 YoLo

YoLo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 224 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Nothing

Đã gửi 27-09-2018 - 20:26

$\Rightarrow \left | x_1+x_2+...+x_n \right |=\left | x_m+\sum _{1\leqslant k\leqslant n,k\neq m}x_k \right |\geqslant \left | \left | x_m \right |-\left | \sum _{1\leqslant k\leqslant n,k\neq m}x_k \right | \right |\geqslant | a_n-(a_1+a_2+...+a_{n-1}) |$

Anh xem lại hộ e đoạn này

có $\left | \sum_{1\leq k\leq n,k\neq m}x_{k}\right |\leq a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}\Rightarrow \left | x_{m} \right |-\left | \sum_{1\leq k\leq n,k\neq m}x_{k}\right |\geq a_{n}-(a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1})$

Khi đó nếu kết quả của vế trái $< 0$ thì khi trùm dấu trị tuyệt đối vào thì BĐT đổi chiều

có  $x_{m}=-(\sum_{1\leq k\leq n,k\neq m}x_{k})\Rightarrow \left | x_{m} \right |=\left | \sum_{1\leq k\leq n,k\neq m}x_{k}\right | \Rightarrow 0\geq a_{n}-(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})$

chả suy ra đc điều vô lý gì trong cm của anh ở phần trên

Vế $1$ =$0$ vế $3=0$ vậy anh đã cm $0\geq 0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi YoLo: 27-09-2018 - 23:47

"All people are nothing but tools. It doesn't matter how it done. It doesn't matter what need to be sacrificed. In this world winning is everything. As long as I win in the end. That's all that matters"    


#4 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2158 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 27-09-2018 - 22:40

Anh xem lại hộ e đoạn này

có $\left | \sum_{1\leq k\leq n,k\neq m}x_{k}\right |\leq a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}\Rightarrow \left | x_{m} \right |-\left | \sum_{1\leq k\leq n,k\neq m}x_{k}\right |\geq a_{n}-(a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1})$

Khi đó nếu kết quả của vế trái $< 0$ thì khi trùm dấu trị tuyệt đối vào thì BĐT đổi chiều

có  $x_{m}=-(\sum_{1\leq k\leq n,k\neq m}x_{k})\Rightarrow \left | x_{m} \right |=\left | \sum_{1\leq k\leq n,k\neq m}x_{k}\right | \Rightarrow 0\geq a_{n}-(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})$

chả suy ra đc điều vô lý gì trong cm của anh ở phần trên

Vế $1$ =$0$ vế $3=0$ vậy anh đã cm $0\geq 0$

Ở phần trước đó, từ điều giả sử $\left ( ^\ast \right )$ suy ra :

$a_n> a_{n-1}+a_{n-1}> ...> a_{n-1}+a_{n-2}+...+a_1$

$\Rightarrow a_n-(a_1+a_2+...+a_{n-1})> 0$ (đúng chưa ?)

Bây giờ, ta lại có :

$|x_1+x_2+...+x_n|\geqslant \left | \left | x_m \right |-\left | \sum _{1\leqslant k\leqslant n,k\neq m}x_k \right | \right |$

Mà $|x_m|-\left | \sum _{1\leqslant k\leqslant n,k\neq m}x_k \right |\geqslant a_n-(a_1+a_2+...+a_{n-1})$ $\left ( ^{\ast \ast } \right )$

Trong bất đẳng thức $\left ( ^{\ast \ast } \right )$, vế phải dương nên vế trái cũng dương (không thể âm được như bạn nói)

Vậy suy ra $|x_1+x_2+...+x_n|\geqslant \left | \left | x_m \right |-\left | \sum _{1\leqslant k\leqslant n,k\neq m}x_k \right | \right |\geqslant |a_n-(a_1+a_2+...+a_{n-1})|> 0$

Điều này mâu thuẫn với giả thiết $x_1+x_2+...+x_n=0$.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh