Cho dãy số thực phân biệt $x_1, x_2, ... x_n$ sao cho $x_1+x_2+...+x_n=0$ với $n \ge 2$.
Chứng minh $\exists i,j (1 \le i < j \le n)$ để $\frac{1}{2}\leq \left |\frac{x_i}{x_j} \right |\leq 2$
$\exists i,j (1 \le i < j \le n)$ để $\frac{1}{2}\leq \left |\frac{x_i}{x_j} \right |\leq 2$
#1
Posted 27-11-2014 - 20:19
- nhungvienkimcuong and Hr MiSu like this
#2
Posted 27-09-2018 - 14:34
Cho dãy số thực phân biệt $x_1, x_2, ... x_n$ sao cho $x_1+x_2+...+x_n=0$ với $n \ge 2$.
Chứng minh $\exists i,j (1 \le i < j \le n)$ để $\frac{1}{2}\leq \left |\frac{x_i}{x_j} \right |\leq 2$
Giả sử không tồn tại $2$ số $i,j$ ($1\leqslant i< j\leqslant n$) sao cho $\frac{1}{2}\leqslant \left | \frac{x_i}{x_j} \right |\leqslant 2$ $\left ( ^\ast \right )$
Gọi giá trị tuyệt đối của $x_1,x_2,...,x_n$ theo thứ tự từ NHỎ đến LỚN là $a_1,a_2,...,a_n$
($0\leqslant a_1\leqslant a_2\leqslant ...\leqslant a_n$, trong đó $a_n=\left | x_m \right |$)
Từ điều giả sử $\left ( ^\ast \right )$, ta có :
$0\leqslant a_1< \frac{a_2}{2}< \frac{a_3}{2^2}< ...< \frac{a_n}{2^{n-1}}$
$\Rightarrow a_n> 2\ a_{n-1}> 2^2\ a_{n-2}> ...> 2^{n-1}\ a_1\geqslant 0$
$\Rightarrow a_n> a_{n-1}+a_{n-1}> a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-2}> a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}+a_{n-3}> ...> a_{n-1}+a_{n-2}+...+2\ a_1\geqslant a_{n-1}+a_{n-2}+...+a_1$
$\Rightarrow \left | x_1+x_2+...+x_n \right |=\left | x_m+\sum _{1\leqslant k\leqslant n,k\neq m}x_k \right |\geqslant \left | \left | x_m \right |-\left | \sum _{1\leqslant k\leqslant n,k\neq m}x_k \right | \right |\geqslant | a_n-(a_1+a_2+...+a_{n-1}) |$
$=a_n-\sum_{k=1}^{n-1}a_k> 0$
Điều này mâu thuẫn với giả thiết $x_1+x_2+...+x_n=0$
Vậy điều giả sử $\left ( ^\ast \right )$ là sai
$\Rightarrow \exists i,j\ (1\leqslant i< j\leqslant n)$ sao cho $\frac{1}{2}\leqslant \left | \frac{x_i}{x_j} \right |\leqslant 2$.
Edited by chanhquocnghiem, 27-09-2018 - 14:48.
- perfectstrong, nhungvienkimcuong, tritanngo99 and 3 others like this
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#3
Posted 27-09-2018 - 20:26
$\Rightarrow \left | x_1+x_2+...+x_n \right |=\left | x_m+\sum _{1\leqslant k\leqslant n,k\neq m}x_k \right |\geqslant \left | \left | x_m \right |-\left | \sum _{1\leqslant k\leqslant n,k\neq m}x_k \right | \right |\geqslant | a_n-(a_1+a_2+...+a_{n-1}) |$
Anh xem lại hộ e đoạn này
có $\left | \sum_{1\leq k\leq n,k\neq m}x_{k}\right |\leq a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}\Rightarrow \left | x_{m} \right |-\left | \sum_{1\leq k\leq n,k\neq m}x_{k}\right |\geq a_{n}-(a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1})$
Khi đó nếu kết quả của vế trái $< 0$ thì khi trùm dấu trị tuyệt đối vào thì BĐT đổi chiều
có $x_{m}=-(\sum_{1\leq k\leq n,k\neq m}x_{k})\Rightarrow \left | x_{m} \right |=\left | \sum_{1\leq k\leq n,k\neq m}x_{k}\right | \Rightarrow 0\geq a_{n}-(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})$
chả suy ra đc điều vô lý gì trong cm của anh ở phần trên
Vế $1$ =$0$ vế $3=0$ vậy anh đã cm $0\geq 0$
Edited by YoLo, 27-09-2018 - 23:47.
- Hr MiSu likes this
Người ta không mắc sai lầm vì dốt mà là vì tưởng là mình giỏi
#4
Posted 27-09-2018 - 22:40
Anh xem lại hộ e đoạn này
có $\left | \sum_{1\leq k\leq n,k\neq m}x_{k}\right |\leq a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}\Rightarrow \left | x_{m} \right |-\left | \sum_{1\leq k\leq n,k\neq m}x_{k}\right |\geq a_{n}-(a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1})$
Khi đó nếu kết quả của vế trái $< 0$ thì khi trùm dấu trị tuyệt đối vào thì BĐT đổi chiều
có $x_{m}=-(\sum_{1\leq k\leq n,k\neq m}x_{k})\Rightarrow \left | x_{m} \right |=\left | \sum_{1\leq k\leq n,k\neq m}x_{k}\right | \Rightarrow 0\geq a_{n}-(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})$
chả suy ra đc điều vô lý gì trong cm của anh ở phần trên
Vế $1$ =$0$ vế $3=0$ vậy anh đã cm $0\geq 0$
Ở phần trước đó, từ điều giả sử $\left ( ^\ast \right )$ suy ra :
$a_n> a_{n-1}+a_{n-1}> ...> a_{n-1}+a_{n-2}+...+a_1$
$\Rightarrow a_n-(a_1+a_2+...+a_{n-1})> 0$ (đúng chưa ?)
Bây giờ, ta lại có :
$|x_1+x_2+...+x_n|\geqslant \left | \left | x_m \right |-\left | \sum _{1\leqslant k\leqslant n,k\neq m}x_k \right | \right |$
Mà $|x_m|-\left | \sum _{1\leqslant k\leqslant n,k\neq m}x_k \right |\geqslant a_n-(a_1+a_2+...+a_{n-1})$ $\left ( ^{\ast \ast } \right )$
Trong bất đẳng thức $\left ( ^{\ast \ast } \right )$, vế phải dương nên vế trái cũng dương (không thể âm được như bạn nói)
Vậy suy ra $|x_1+x_2+...+x_n|\geqslant \left | \left | x_m \right |-\left | \sum _{1\leqslant k\leqslant n,k\neq m}x_k \right | \right |\geqslant |a_n-(a_1+a_2+...+a_{n-1})|> 0$
Điều này mâu thuẫn với giả thiết $x_1+x_2+...+x_n=0$.
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users