Hãy phân tích số 89 thành tổng của các số nguyên dương sao cho tích của chúng là $max$.
Hãy phân tích số 89 thành tổng của các số nguyên dương sao cho tích của chúng là $max$.
#1
Đã gửi 27-11-2014 - 20:38
- mnguyen99 và chardhdmovies thích
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
#2
Đã gửi 05-12-2014 - 18:03
Hãy phân tích số 89 thành tổng của các số nguyên dương sao cho tích của chúng là $max$.
với $a_1,a_2,...,a_k$ thỏa $a_1+a_2+...+a_k=89$ ta sẽ tìm giá trị lớn nhất của $a_1.a_2...a_k$
lời giải
ta chứng minh trong cách phân tích đã chọn như trên thì tích $a_1.a_2...a_k$ chỉ gồm những thừa số nguyên tố $2$ và $3$ và không có quá $2$ thừa số nguyên tố $2$
$\triangleright$ Trong các số $a_1,a_2,...,a_k$ không có số hạng $1$ vì nếu có số hạng $1$ thì ta lấy một số hạng $a>1$ tùy ý khác,lúc này ta thay hai số $1,a$ bằng số $1+a$ và do $1.a<1+a$ nên khi thay vào thì tích $a_1.a_2...a_k$ sẽ tăng lên.Điều này mâu thuẫn với tích đã cho là lớn nhất
$\triangleright$ Trong cách phân tích đã cho không có số hạng $b\geq 4$,vì khi ta thay $b$ bằng hai số hạng $2,b-2$.Rõ ràng $2(b-2)\geq 4$.Vậy tổng chỉ chứa các số hạng $2$ và $3$
$\triangleright$ Giả sử tổng có nhiều hơn hai số hạng $2$.Nếu thay ba số $2$ bằng hai số $3$ thì $2+2+2=3+3$ nhưng $2.2.2<3.3$ do đó tích $a_1.a_2...a_k$ tăng lên điều này vô lí.Vậy thừa số $2$ trong tích sẽ không vượt quá $2$
do đó để đảm bảo $a_1.a_2...a_k$ lớn nhất thì ta phân tích
$89=3+3+...+3+2$ $($ $29$ số $3$ $)$ hoặc $89=3+3+...+3+2+2$ $($ không thể phân tích được kiểu này $)$ hoặc $89=3+3+...+3$ $($ không thể phân tích được kiểu này $)$
$\boxed{max(a_1.a_2...a_k)=3^{29}.2\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} k=30\\a_1=a_2=...=a_{29}=3\\a_{30}=2 \end{matrix}\right.}$
chú ý:với $a_1,a_2,...,a_k$ là các số tự nhiên mà $a_1+a_2+...+a_k=n$ thì $a_1.a_2...a_k\leq 3^{\frac{n-2p}{3}}.2^p$ với $p=\left\{\begin{matrix} \text{0 nếu n=3k} \\ \text{1 nếu n=3k+2} \\ \text{2 nếu n=3k+1} \end{matrix}\right.$
NTP
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 05-12-2014 - 18:23
- mnguyen99, lehoangphuc1820, hoctrocuaZel và 3 người khác yêu thích
chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q
#3
Đã gửi 05-12-2014 - 20:24
Bài này có nguồn gốc từ IMO 1976 "http://www.artofprob...1715bc#p367432"
- hoctrocuaZel yêu thích
Ho Chi Minh City University Of Transport
#4
Đã gửi 13-05-2017 - 10:06
Vào lúc 5-2-2014 -18:03 chardhdmovies đã nói:
Trong cách phân tích đã cho không có số hạng b≥4,vì khi ta thay b bằng hai số hạng 2,b−2,.Rõ ràng 2(b−2)≥4.Vậy tổng chỉ chứa các số hạng 2 và 3.
Theo mình khi b=4 phân tích b=2+2 và như vậy ta được biểu diễn tương đương.Trong biểu diễn vẫn có thể có 4.
4 chỉ bị loại vì 89=3+3+3+...+2+2(vô lí)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi colenSongNhi: 13-05-2017 - 10:11
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh