Chủ đề này có 4 trả lời

[MinhDucCay2000]

Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: $\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{c+a}+\frac{2c}{a+b} \geq 3 + \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{(a+b+c)^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MinhDucCay2000: 28-11-2014 - 00:00

[Nguyen Minh Hai]

Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: $\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{c+a}+\frac{2c}{a+b} \geq 3 + \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c+a)^2}{(a+b+c)^2}$

Đề sai rồi bạn nhé... Đề đúng phải là: 

$\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{c+a}+\frac{2c}{a+b}\geq 3+\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{(a+b+c)^2}$

BĐT đả cho tương đương với: 

$2(\frac{1}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})\geq 3+\frac{2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}$        (1)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

$[(b+c)+(c+a)+(a+b)].[\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}]\geq 9$

$\Leftrightarrow 2(a+b+c)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b})\geq 9$

$\Leftrightarrow 2(\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b})\geq 9$

$\Leftrightarrow 2(1+\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1+\frac{c}{a+b})\geq 9$

$\Leftrightarrow 2(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})\geq 3$                                                              (2)

Xét VP, ta có:

$ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2$

$\Leftrightarrow -2(ab+bc+ca)\geq -2(a^2+b^2+c^2)$

$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)\geq 0$                                                                                     (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra đpcm. Xảy ra dấu "=" khi $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Minh Hai: 27-11-2014 - 23:38

[Chung Anh]

Đề sai rồi bạn nhé... Đề đúng phải là: 

$\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{c+a}+\frac{2c}{a+b}\geq 3+\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{(a+b+c)^2}$

BĐT đả cho tương đương với: 

$2(\frac{1}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})\geq 3+\frac{2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}$        (1)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

$[(b+c)+(c+a)+(a+b)].[\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}]\geq 9$

$\Leftrightarrow 2(a+b+c)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b})\geq 9$

$\Leftrightarrow 2(\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b})\geq 9$

$\Leftrightarrow 2(1+\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1+\frac{c}{a+b})\geq 9$

$\Leftrightarrow 2(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})\geq 3$                                                              (2)

Xét VP, ta có:

$ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2$

$\Leftrightarrow -2(ab+bc+ca)\geq -2(a^2+b^2+c^2)$

$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)\geq 0$                                                                                     (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra đpcm. Xảy ra dấu "=" khi $a=b=c$

 Hình như từ (1),(2),(3) ko suy ra đpcm đc.Chẳng lẽ $x\geq3;y\geq0$=>$x\geq3+y$ à? Bạn xem lại đi nha.

[hoanglong2k]

Đề sai rồi bạn nhé... Đề đúng phải là: 

$\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{c+a}+\frac{2c}{a+b}\geq 3+\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{(a+b+c)^2}$

BĐT đả cho tương đương với: 

$2(\frac{1}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})\geq 3+\frac{2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}$        (1)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

$[(b+c)+(c+a)+(a+b)].[\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}]\geq 9$

$\Leftrightarrow 2(a+b+c)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b})\geq 9$

$\Leftrightarrow 2(\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b})\geq 9$

$\Leftrightarrow 2(1+\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1+\frac{c}{a+b})\geq 9$

$\Leftrightarrow 2(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})\geq 3$                                                              (2)

Xét VP, ta có:

$ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2$

$\Leftrightarrow -2(ab+bc+ca)\geq -2(a^2+b^2+c^2)$

$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)\geq 0$                                                                                     (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra đpcm. Xảy ra dấu "=" khi $a=b=c$

Sai rồi Nguyen Minh Hai ơi

[le_hoang1995]

Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: $\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{c+a}+\frac{2c}{a+b} \geq 3 + \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{(a+b+c)^2}$

BĐT tương đương với

$$\sum \left (  \frac{2a}{b+c}-1\right )\geq \sum \frac{(a-b)^2}{(a+b+c)^2}$$
$$\Leftrightarrow \sum \left ( \frac{a-b}{b+c}+\frac{a-c}{b+c} \right )\geq \sum \frac{(a-b)^2}{(a+b+c)^2}$$
$$\Leftrightarrow \sum (a-b).\left ( \frac{1}{b+c}-\frac{1}{a+c} \right )\geq \sum \frac{(a-b)^2}{(a+b+c)^2}$$
$$\Leftrightarrow \sum \frac{(a-b)^2}{(b+c)(a+c)}\geq \sum \frac{(a-b)^2}{(a+b+c)^2}$$

Dễ thấy

$$(a+c)(b+c)=c^2+ac+bc+ab<(a+b+c)^2$$
$$\Rightarrow \frac{(a-b)^2}{(a+c)(b+c)}\geq \frac{(a-b)^2}{(a+b+c)^2}$$
$$\Rightarrow  \sum \frac{(a-b)^2}{(b+c)(a+c)}\geq \sum \frac{(a-b)^2}{(a+b+c)^2}$$

Vậy BĐT đúng. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 28-11-2014 - 19:04