Chủ đề này có 9 trả lời

[quangbinng]

Tìm hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn

$f(x-f(y))=2f(x)+x+f(y)$

[Idie9xx]

Tìm hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn

$f(x-f(y))=2f(x)+x+f(y)$

Cho $x=f(y)$ ta có $f(0)=2(f(f(x))+f(x))$ thay $x=0$ có $2f(f(0))=-f(0)$

Thay $x,y$ lần lượt bằng $x+f(x),x$ ta có $2f(f(x)+x)=-(f(x)+x)$

Từ hai điều trên thay $x$ bằng $f(x)\Rightarrow f(\frac{f(0)}{2})=-\frac{f(0)}{4}$

Cho $x=0,y=f(0)$ có $f(-f(f(0)))=2f(0)+f(f(0))\Rightarrow f(\frac{f(0)}{2})=2f(0)-\frac{f(0)}{2}$

$\Rightarrow -\frac{f(0)}{4}=2f(0)-\frac{f(0)}{2}\Rightarrow f(0)=0$

Cho $y=0\Rightarrow f(x-f(0))=2f(x)+x+f(0)\Rightarrow f(x)=-x$

Vậy hàm thỏa mãn đề bài là $f(x)=-x$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 28-11-2014 - 19:58

[quangbinng]

có ý tưởng gì không , sao biến đổi ảo thế @@

[anhminhnam]

bạn ấy biến đổi đúng nhé @@, vì chạy trên R nên thay vầy không có gì sai @@

[Lee LOng]

Tìm hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn

$f(x-f(y))=2f(x)+x+f(y)$ (1)

Từ (1) thay x bởi f(x) 

$\Rightarrow  2f(f(y))=a-2f(y) (2) (\forall  y\epsilon R)$

Từ (1) thay y=0 ta có:$f(x-a)-2f(x)=x+a (a=f(0)=const)$

Vì $x+a$ chạy hết R nên $f(x-a)-2f(x)$ chạy hết R. Đặt $t=f(x-a)-2f(x)$

Sử dụng (1) và (2). Ta có:

$f(t)=f(f(x-a)-f(x)-f(x))=2f(f(x-a)-f(x))+f(x-a)-f(x)+f(x)=4f(f(x-a))+3f(x-a)+2f(x)=2a-f(x-a)+2f(x)=2a-t$

Thay $f(t)=2a-t$ vào (1) có a=0 $\Rightarrow f(t)=-t (\forall  t\epsilon R)$

[superpower]

Tìm hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn

$f(x-f(y))=2f(x)+x+f(y)$

Dễ chứng minh $f$ toàn ánh

Do đó tồn tại $a: f(a)=0$

Thay $y=a$, ta được

$f(x)=2f(x)+x => f(x)=-x$

Thử lại thấy thỏa

[meoconhocxuong]

Dễ chứng minh $f$ toàn ánh

Do đó tồn tại $a: f(a)=0$

Thay $y=a$, ta được

$f(x)=2f(x)+x => f(x)=-x$

Thử lại thấy thỏa

Tại sao f(x) toàn ánh nhỉ?

[superpower]

Tại sao f(x) toàn ánh nhỉ?

Dễ thôi

Cố định $y$, vế phải là hàm bậc nhất nên có tập giá trị là $R$

Do đó $f$ toàn ánh

Theo mình thì cứ nhìn thấy ẩn ở ngoài mà không bị tác động bởi $f$ là toàn ánh

[meoconhocxuong]

Dễ thôi

Cố định $y$, vế phải là hàm bậc nhất nên có tập giá trị là $R$

Do đó $f$ toàn ánh

Theo mình thì cứ nhìn thấy ẩn ở ngoài mà không bị tác động bởi $f$ là toàn ánh

làm sao là hàm bậc nhất được nhỉ? Nếu cố định $y$ thì vẫn còn $2f(x)$ nữa mà!

[superpower]

làm sao là hàm bậc nhất được nhỉ? Nếu cố định $y$ thì vẫn còn $2f(x)$ nữa mà!

Mình nghĩ nếu có biến ở ngoài là suy ra toàn ánh luôn