Đến nội dung


Hình ảnh

CMR $(u-1)\vdots 3$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt chuyên nguyễn du
  • Sở thích:đá banh, chém gió, đánh cờ

Đã gửi 28-11-2014 - 19:07

Cho $n$ là số nguyên dương lẻ và $u$ là một ước nguyên dương lẻ của $3^n+1$

Chứng minh $u-1$ chia hết cho $3$

 

NTP


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 30-11-2014 - 08:29

                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q


#2 ecchi123

ecchi123

    Trung sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 176 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hoàng Văn Thụ - Hòa bình
  • Sở thích:Hình , Dragonball

Đã gửi 23-09-2017 - 18:17

Lời giải : ,  $n=2k+1$ nên với mọi $p$ là số nguyên tố lẻ mà $p|3^{2k+1}+1 | 3^{2k+2}+3$

 đặt $3^{k+1}=2a+1$ nên $(2a+1)^2+3=4(a^2+a+1)\equiv 0 $(mod $p$)  dó $p$ lẻ nên $p | a^2+a+1 |a^3-1 $ do $p$ ko chia hết $a-1$ ( nếu ngược lại thì $p=3$ vô lí ) nên $ord_p(a)=3$ mặt khác theo fermat thì $p|a^{p-1}-1$ nên $3|p-1$ . Vậy thì $u=p_1^{\alpha _1}.... p_k^{\alpha _k}\equiv 1(mod 3)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ecchi123: 23-09-2017 - 18:20

~O)  ~O)  ~O)


#3 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1303 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-10-2017 - 19:17

Lời giải : ,  $n=2k+1$ nên với mọi $p$ là số nguyên tố lẻ mà $p|3^{2k+1}+1 | 3^{2k+2}+3$

 đặt $3^{k+1}=2a+1$ nên $(2a+1)^2+3=4(a^2+a+1)\equiv 0 $(mod $p$)  dó $p$ lẻ nên $p | a^2+a+1 |a^3-1 $ do $p$ ko chia hết $a-1$ ( nếu ngược lại thì $p=3$ vô lí ) nên $ord_p(a)=3$ mặt khác theo fermat thì $p|a^{p-1}-1$ nên $3|p-1$ . Vậy thì $u=p_1^{\alpha _1}.... p_k^{\alpha _k}\equiv 1(mod 3)$

Em làm đúng rồi; tuy nhiên, để có một thói quen làm toán lành mạnh, em nên để ý dấu câu, chấm phẩy cho đàng hoàng để người khác đọc dễ hiểu. (Em hãy tự thử đọc lại bài của chính mình sau mỗi lần làm xong.) Trình bày một bài toán phải như đang kể một câu chuyện, phải có đầu có đuôi. Hơn nữa, không ai gõ đồng dư là $(mod 3)$ cả, từ lần sau em nên gõ là

$4(a^2+a+1)\equiv 0 \pmod{3}$

Lần này, cộng cho em $10^{-}$ điểm PSW nhé.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 14-10-2017 - 19:23

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#4 Zz Isaac Newton Zz

Zz Isaac Newton Zz

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 351 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Phú Mỹ
  • Sở thích:Bất đẳng thức, Phương trình hàm, Dãy số và Thổi sáo.

Đã gửi 14-10-2017 - 20:45

Cho $n$ là số nguyên dương lẻ và $u$ là một ước nguyên dương lẻ của $3^n+1$

Chứng minh $u-1$ chia hết cho $3$

 

NTP

*Dùng thặng dư bình phương:

Gọi $p$ là một ước nguyên tố lẻ của $3^{n}+1$ nên $3^{n}+1\equiv 0$ $(mod$ $p)$$\Rightarrow 3^{n+1}\equiv -3$ $(mod$ $p).$ Do $n$ là số nguyên dương lẻ nên $n+1$ là số nguyên dương chẵn. Từ đó dẫn đến $-3$ là số chính phương $mod$ $p\Rightarrow \left (\frac{-3}{p} \right )=1$    (I)

Theo định lý tiêu chuẩn $Euler$ ta có: $\left ( \frac{-3}{p} \right )=\left ( \frac{-1}{p} \right )\left ( \frac{3}{p} \right )=\left ( -1 \right )^{\frac{p-1}{2}}\left ( \frac{3}{p} \right )$    (*)

Theo luật tương hỗ $Gauss$ ta có: $\left ( \frac{3}{p} \right )\left ( \frac{p}{3} \right )=\left ( -1 \right )^{\frac{(3-1)(p-1)}{4}}=\left ( -1 \right )^{\frac{p-1}{2}}\Rightarrow \left ( \frac{3}{p} \right )=\left ( -1 \right )^{\frac{p-1}{2}}\left ( \frac{p}{3} \right )$    (**)

Từ (*)(**) suy ra: $\left ( \frac{-3}{p} \right )=\left ( -1 \right )^{p-1}\left ( \frac{p}{3} \right ).$

Ta dễ dàng thấy được $p\neq 3$ nên ta xét:

Nếu $p\equiv 2$ $(mod$ $3)$ $\Rightarrow \left ( \frac{p}{3} \right )=\left ( \frac{2}{3} \right )=\left ( -1 \right )^{\frac{3^{2}-1}{8}}=-1,$ từ đây dẫn đến: $\left ( \frac{-3}{p} \right )=-1,$ mâu thuẫn với (I).

Do đó, ta phải có: $p\equiv 1$ $(mod$ $3)$ $\Rightarrow p-1\equiv 0$ $(mod$ $3).$ Từ đây ta dễ dàng suy ra điều phải chứng minh.
 






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh