Cho $n$ là số nguyên dương lẻ và $u$ là một ước nguyên dương lẻ của $3^n+1$
Chứng minh $u-1$ chia hết cho $3$
NTP
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 30-11-2014 - 08:29
Cho $n$ là số nguyên dương lẻ và $u$ là một ước nguyên dương lẻ của $3^n+1$
Chứng minh $u-1$ chia hết cho $3$
NTP
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 30-11-2014 - 08:29
chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q
Lời giải : , $n=2k+1$ nên với mọi $p$ là số nguyên tố lẻ mà $p|3^{2k+1}+1 | 3^{2k+2}+3$
đặt $3^{k+1}=2a+1$ nên $(2a+1)^2+3=4(a^2+a+1)\equiv 0 $(mod $p$) dó $p$ lẻ nên $p | a^2+a+1 |a^3-1 $ do $p$ ko chia hết $a-1$ ( nếu ngược lại thì $p=3$ vô lí ) nên $ord_p(a)=3$ mặt khác theo fermat thì $p|a^{p-1}-1$ nên $3|p-1$ . Vậy thì $u=p_1^{\alpha _1}.... p_k^{\alpha _k}\equiv 1(mod 3)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ecchi123: 23-09-2017 - 18:20
Lời giải : , $n=2k+1$ nên với mọi $p$ là số nguyên tố lẻ mà $p|3^{2k+1}+1 | 3^{2k+2}+3$
đặt $3^{k+1}=2a+1$ nên $(2a+1)^2+3=4(a^2+a+1)\equiv 0 $(mod $p$) dó $p$ lẻ nên $p | a^2+a+1 |a^3-1 $ do $p$ ko chia hết $a-1$ ( nếu ngược lại thì $p=3$ vô lí ) nên $ord_p(a)=3$ mặt khác theo fermat thì $p|a^{p-1}-1$ nên $3|p-1$ . Vậy thì $u=p_1^{\alpha _1}.... p_k^{\alpha _k}\equiv 1(mod 3)$
Em làm đúng rồi; tuy nhiên, để có một thói quen làm toán lành mạnh, em nên để ý dấu câu, chấm phẩy cho đàng hoàng để người khác đọc dễ hiểu. (Em hãy tự thử đọc lại bài của chính mình sau mỗi lần làm xong.) Trình bày một bài toán phải như đang kể một câu chuyện, phải có đầu có đuôi. Hơn nữa, không ai gõ đồng dư là $(mod 3)$ cả, từ lần sau em nên gõ là
$4(a^2+a+1)\equiv 0 \pmod{3}$
Lần này, cộng cho em $10^{-}$ điểm PSW nhé.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 14-10-2017 - 19:23
Cho $n$ là số nguyên dương lẻ và $u$ là một ước nguyên dương lẻ của $3^n+1$
Chứng minh $u-1$ chia hết cho $3$
NTP
*Dùng thặng dư bình phương:
Gọi $p$ là một ước nguyên tố lẻ của $3^{n}+1$ nên $3^{n}+1\equiv 0$ $(mod$ $p)$$\Rightarrow 3^{n+1}\equiv -3$ $(mod$ $p).$ Do $n$ là số nguyên dương lẻ nên $n+1$ là số nguyên dương chẵn. Từ đó dẫn đến $-3$ là số chính phương $mod$ $p\Rightarrow \left (\frac{-3}{p} \right )=1$ (I)
Theo định lý tiêu chuẩn $Euler$ ta có: $\left ( \frac{-3}{p} \right )=\left ( \frac{-1}{p} \right )\left ( \frac{3}{p} \right )=\left ( -1 \right )^{\frac{p-1}{2}}\left ( \frac{3}{p} \right )$ (*)
Theo luật tương hỗ $Gauss$ ta có: $\left ( \frac{3}{p} \right )\left ( \frac{p}{3} \right )=\left ( -1 \right )^{\frac{(3-1)(p-1)}{4}}=\left ( -1 \right )^{\frac{p-1}{2}}\Rightarrow \left ( \frac{3}{p} \right )=\left ( -1 \right )^{\frac{p-1}{2}}\left ( \frac{p}{3} \right )$ (**)
Từ (*) và (**) suy ra: $\left ( \frac{-3}{p} \right )=\left ( -1 \right )^{p-1}\left ( \frac{p}{3} \right ).$
Ta dễ dàng thấy được $p\neq 3$ nên ta xét:
Nếu $p\equiv 2$ $(mod$ $3)$ $\Rightarrow \left ( \frac{p}{3} \right )=\left ( \frac{2}{3} \right )=\left ( -1 \right )^{\frac{3^{2}-1}{8}}=-1,$ từ đây dẫn đến: $\left ( \frac{-3}{p} \right )=-1,$ mâu thuẫn với (I).
Do đó, ta phải có: $p\equiv 1$ $(mod$ $3)$ $\Rightarrow p-1\equiv 0$ $(mod$ $3).$ Từ đây ta dễ dàng suy ra điều phải chứng minh.
Lời giải : , n=2k+1n=2k+1 nên với mọi pp là số nguyên tố lẻ mà p|32k+1+1|32k+2+3p|32k+1+1|32k+2+3
đặt 3k+1=2a+13k+1=2a+1 nên (2a+1)2+3=4(a2+a+1)≡0(2a+1)2+3=4(a2+a+1)≡0(mod pp) dó pp lẻ nên p|a2+a+1|a3−1p|a2+a+1|a3−1 do pp ko chia hết a−1a−1 ( nếu ngược lại thì p=3p=3 vô lí ) nên ordp(a)=3ordp(a)=3 mặt khác theo fermat thì p|ap−1−1p|ap−1−1 nên 3|p−13|p−1 . Vậy thì u=pα11....pαkk≡1(mod3)u=p1α1....pkαk≡1(mod3)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ecchi123: 23-09-2017 - 18:20
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh