Chủ đề này có 1 trả lời

[duck donald]

Cho $a,b>0$, $a+b=2$

Tìm gtnn:

P=$\frac{1}{4a^2+2}+\frac{1}{4b^2+2}+\frac{1}{ab}$

Giải chi tiết giúp mk

[le_hoang1995]

Mình sẽ cố gắng giải chi tiết

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta có

$\left ( a_1+a_2+...+a_n \right )\left ( \frac{b_1^2}{a_1}+\frac{b_2^2}{a_2}+...+\frac{b_n^n}{a_n} \right )\geq (b_1+b_2+...+b_n)^2$
$\Rightarrow \frac{b_1^2}{a_1}+\frac{b_2^2}{a_2}+...+\frac{b_n^n}{a_n}\geq \frac{(b_1+b_2+...+b_n)^2}{a_1+a_2+...+a_n}$

Áp dụng BĐT trên cho 10 phân số sau, ta có:

$3.\frac{1}{4a^2+2}+3.\frac{1}{4b^2+2}+4.\frac{1}{6ab}\geq \frac{(3.1+3.1+4.1)^2}{3.(4a^2+2)+3.(4b^2+2)+4.6ab}=\frac{100}{12.(a^2+2ab+b^2)+12}=\frac{5}{3}$

Và $ab\leq \left ( \frac{a+b}{2} \right )^2=1$

Suy ra ta có:

$3P=\frac{3}{4a^2+2}+\frac{3}{4b^2+2}+\frac{4}{6ab}+\frac{7}{3ab}\geq \frac{5}{3}+\frac{7}{3}=4$
$\Rightarrow P\geq \frac{4}{3}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
$\left\{\begin{matrix}
4a^2+2=4b^2+2=6ab\\a=b
\\ a+b=2

\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 29-11-2014 - 20:47