Trong mặt phẳng cho n giác đều A1A2...An . Tại mỗi đỉnh của nó đặt một đồng tiền. Thực hiện trò chơi sau
Mỗi lần di chuyển hai đồng tiền bất kì và đặt sang hai đỉnh kề nó theo hai hướng khác nhau ( VD : A1-> A2 , A5->A4 )
hỏi sau một số hữu hạn lần dịch chuyển thì có thể dồn hết xu về một đỉnh được k ???
Biết n = 2016
Ta giải cho TH tổng quát.
Trên đường tròn ngoại tiếp đa giác đều, chọn $A_{n}$ là điểm gốc, chiều dương là chiều từ $A_{n}\rightarrow A_{1}\rightarrow A_{2}\rightarrow ...$.Tọa độ của điểm gốc $A_{n}$ là $0$ ; của $A_{1},A_{2},...,A_{n-1}$ lần lượt là $\frac{2\pi }{n};\frac{2.2\pi }{n};...;\frac{(n-1).2\pi }{n}$.
Tọa độ mỗi đồng tiền chính là tọa độ của đỉnh mà nó đang tọa lạc (tọa độ đồng tiền thay đổi khi dời chỗ đồng tiền).Xét đại lượng $S$ là tổng tọa độ của tất cả các đồng tiền.
Khi di chuyển 2 đồng tiền theo cách đã nêu trong đề bài, trong phần lớn các TH, giá trị của $S$ không thay đổi.Chỉ khi nào có 1 đồng tiền di chuyển từ $A_{n}$ đến $A_{n-1}$ (theo chiều âm) hoặc từ $A_{n-1}$ đến $A_{n}$ (theo chiều dương) thì $S$ mới tăng hoặc giảm $2\pi$.
Lúc đầu, $S=\left [ 0+1+2+...+(n-1) \right ].\frac{2\pi }{n}=(n-1).\pi$
Xét 2 TH :
$a)$ $n$ lẻ :
Lúc đầu $S=(n-1).\pi$ (là một số CHẴN lần $\pi$).Dù $S$ có thay đổi thì vẫn là một số CHẴN lần $\pi$ (1)
Giả sử đến lúc nào đó, tất cả các đồng tiền đều đến đỉnh $A_{k}$.Khi đó $S=n.\frac{k.2\pi }{n}=2k\pi$ là một số CHẴN lần $\pi$.Điều này phù hợp với (1) nên CÓ THỂ xảy ra.
$b)$ $n$ chẵn :
Lúc đầu $S=(n-1).\pi$ (là một số LẺ lần $\pi$).Dù $S$ có thay đổi thì vẫn là một số LẺ lần $\pi$ (2)
Giả sử đến lúc nào đó, tất cả các đồng tiền đều đến đỉnh $A_{k}$.Khi đó $S=n.\frac{k.2\pi }{n}=2k\pi$ là một số CHẴN lần $\pi$.Điều này mâu thuẫn với (2) nên KHÔNG THỂ xảy ra.
Tóm lại tất cả các đồng tiền CÓ THỂ dồn về một đỉnh nếu $n$ LẺ ; và KHÔNG THỂ nếu $n$ CHẴN.
Với $n=2016$ (chẵn) thì KHÔNG THỂ.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 30-11-2014 - 15:44