Cho x, y > 0. Tìm GTNN của Q = $\sqrt{\frac{x^{3}}{x^{3}+8y^{3}}}+\sqrt{\frac{4y^{3}}{y^{3}+\left ( x+y \right )^{3}}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 30-11-2014 - 10:02
Cho x, y > 0. Tìm GTNN của Q = $\sqrt{\frac{x^{3}}{x^{3}+8y^{3}}}+\sqrt{\frac{4y^{3}}{y^{3}+\left ( x+y \right )^{3}}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 30-11-2014 - 10:02
Ta có: $\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}-\frac{x^2}{x^2+2y^2}=\frac{\frac{4x^3y^2(x-y)^2}{(x^3+8y^3)(x^2+2y^2)^2}}{\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\frac{x^2}{x^2+2y^2}}\geqslant 0\Rightarrow \sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}\geqslant \frac{x^2}{x^2+2y^2}$ (1)
$\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}-\frac{2y^2}{x^2+2y^2}=\frac{\frac{4y^3(x-y)^2(x^2+xy+2y^2)}{[y^3+(x+y)^3](x^2+2y^2)^2}}{\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}+\frac{2y^2}{x^2+2y^2}}\geqslant 0\Rightarrow \sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}\geqslant \frac{2y^2}{x^2+2y^2}$ (2)
Cộng theo vế hai bất đẳng thức (1) và (2), ta được: $\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}\geqslant \frac{x^2+2y^2}{x^2+2y^2}=1$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y>0$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
Điều kiện giả sử của f(x) để nếu f là hàm cộng tính thì f(x) = axBắt đầu bởi Explorer, 15-02-2023 phương trình hàm, đại số, số thực và . |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Tìm các hợp số n s/c $n\sigma (n) \equiv 2 (mod \varphi (n))$Bắt đầu bởi Explorer, 11-09-2022 số học, hàm số học, euler, hợp số và . |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
Cho a>0. Tìm $f: \mathbb{R}^{^{+}}\rightarrow \mathbb{R}^{+}$ : $f(\frac{1}{x}+f(2y))=\frac{1}{f(x)}+ay$ vớBắt đầu bởi Explorer, 07-09-2022 phương trình hàm, đơn ánh và . |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$\frac{25^{m}-1}{8}=2n^{4}+n$Bắt đầu bởi sieucuong1998, 12-05-2013 tìm, các, số, nguyên, dương, thỏa và . |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh