Chủ đề này có 1 trả lời

[Dung Du Duong]

Chứng minh bằng qui nạp với $n,k \in  \mathbb{N}*$

$\frac{n+1}{n+2} - n.\frac{\sum_{k=1}^{n}\frac{2^{k}}{k}}{2^{n+1}} < 0$

 

Giúp mình bài này với!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dung Du Duong: 30-11-2014 - 11:01

[le_hoang1995]

 

Chứng minh bằng qui nạp với $n,k \in  \mathbb{N}*$

$\frac{n+1}{n+2} - n.\frac{\sum_{k=1}^{n}\frac{2^{k}}{k}}{2^{n+1}} < 0$

 

Giúp mình bài này với!!!

 

Bài này với $n=1$ thì BĐT sai, còn từ 2 trở đi mới đúng. Bạn xem lại đề nhé. Mình chứng minh như sau

Ta chứng minh bổ đề: với $n\geq2$ thì ta có BĐT

$$2+\frac{2^2}{2}+\frac{2^3}{3}+...+\frac{2^{n-1}}{n-1}\geq\frac{2^n}{n}$$

Với $n=2$ dễ thấy BĐT đúng

Giả sử BĐT đúng với $n=k$ suy ra $2+\frac{2^2}{2}+\frac{2^3}{3}+...+\frac{2^{k-1}}{k-1}\geq\frac{2^k}{k}$

Ta thấy $2+\frac{2^2}{2}+\frac{2^3}{3}+...+\frac{2^{k-1}}{k-1}+\frac{2^k}{k}\geq\frac{2^k}{k}+\frac{2^k}{k}=\frac{2^{k+1}}{k}>\frac{2^{k+1}}{k+1}$

Suy ra BĐT đúng với $n=k+1$

Theo nguyên lí quy nạp toán học, BĐT đúng với mọi $n\geq2$

________________________________________________

Trở lại BĐT ban đầu, ta có

$2+\frac{2^2}{2}+\frac{2^3}{3}+...+\frac{2^{n-1}}{n-1}\geq\frac{2^n}{n}$
$\Leftrightarrow 2+\frac{2^2}{2}+\frac{2^3}{3}+...+\frac{2^{n-1}}{n-1}+\frac{2^n}{n}\geq2.\frac{2^n}{n}=\frac{2^{n+1}}{n}$
$\Leftrightarrow n.\frac{\sum_{k=1}^{n}\frac{2^{k}}{k}}{2^{n+1}}\geq1$

Dễ thấy $\frac{n+1}{n+2}<1$

Vậy $\frac{n+1}{n+2}< n.\frac{\sum_{k=1}^{n}\frac{2^{k}}{k}}{2^{n+1}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 30-11-2014 - 21:48